Несколько лет назад с удивлением узнала, что сегодня в школах (даже во многих физ-мат школах), на кружках, да и в случаях “репетирования’’ не учат делить полиномы, или многочлены, в столбик. Самое забавное при этом, что схему Горнера школьники знают и используют для деления полиномов. Похоже, считается, что деление в столбик слишком сложно для неокрепшего разума, а вот выучить наизусть табличку, которая позволяет делить на многочлен первой степени, ему вполне по силам. Естественно, никто при этом не заботится о том, чтобы школьники поняли, почему так можно делить. Чтобы восполнить вопиющий пробел в образовании таких ребят, привожу здесь метод деления полинома на полином столбиком, который на самом деле довольно прост и позволяет делить на полиномы произвольной степени.
Начнем с того, что для двух многочленов и ( не должен быть тождественно равным нулю) справедлива . Если же остаток нулевой, то говорят, что делится на без остатка.
А теперь давайте рассмотрим примеры: на них учиться делить полиномы проще.
Пример 1. Разделим на (обратите внимание, оба многочлена записаны по убыванию степеней ). Сначала запишу то, что должно получиться, а затем приведу объяснения, как это получить.
Сначала старший член делимого — это — поделим на старший член делителя, то есть на . Полученный результат, который равен , будет старшим членом частного. Теперь умножим делитель на этот многочлен (получим ) и вычтем полученный результат из делимого. Получим остаток . Старший член этого остатка, который равен снова поделим на старший член делителя, который равен , получим , что и будет вторым членом частного. Делитель, умноженный на этот член, вычитаем из первого остатка. Получаем второй остаток, который равен нулю. На этом процесс деления заканчивается.
Легко проверить, что
Вообще говоря, деление заканчивается, как только степень полученного остатка будет меньше (строго меньше!) степени делителя. Давайте рассмотрим еще один пример.
Пример 2. Поделим на .
Деление закончено, поскольку степень последнего остатка меньше степени делителя (), иначе говоря, старший член остатка не делится нацело на старший член делителя.
Проверка. Действительно, нетрудно убедиться в том, что
Приводится доказательство, что неправильную дробь, составленную из многочленов, можно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби. Подробно разобраны примеры деления многочленов уголком и умножения столбиком.
СодержаниеПусть P k (x)
,
Q n (x)
- многочлены от переменной x
степеней k
и n
,
соответственно, причем k ≥ n
.
Тогда многочлен P k (x)
можно представить единственным способом в следующем виде:
(1)
P k (x)
= S k-n (x)
Q n (x)
+ U n-1
(x)
,
где S k-n (x)
- многочлен степени k-n
,
U n-1
(x)
- многочлен степени не выше n-1
,
или нуль.
По определению многочлена:
;
;
;
,
где p i , q i
- известные коэффициенты, s i , u i
- неизвестные коэффициенты.
Введем обозначение:
.
Подставим в (1)
:
;
(2)
.
Первый член в правой части - это многочлен степени k
.
Сумма второго и третьего членов - это многочлен степени не выше k - 1
.
Приравняем коэффициенты при x k
:
p k = s k-n q n
.
Отсюда s k-n = p k / q n
.
Преобразуем уравнение (2)
:
.
Введем обозначение: .
Поскольку s k-n = p k / q n
,
то коэффициент при x k
равен нулю. Поэтому - это многочлен степени не выше k - 1
,
. Тогда предыдущее уравнение можно переписать в виде:
(3)
.
Это уравнение имеет тот же вид, что и уравнение (1)
, только значение k
стало на 1
меньше. Повторяя эту процедуру k-n
раз, получаем уравнение:
,
из которого определяем коэффициенты многочлена U n-1
(x)
.
Итак, мы определили все неизвестные коэффициенты s i , u l . Причем s k-n ≠ 0 . Лемма доказана.
Разделив обе части уравнения (1)
на Q n (x)
,
получим:
(4)
.
По аналогии с десятичными числами, S k-n (x)
называется целой частью дроби или частным, U n-1
(x)
- остатком от деления. Дробь многочленов, у которой степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе называется правильной дробью. Дробь многочленов, у которой степень многочлена в числителе больше или равна степени многочлена в знаменателе называется неправильной дробью.
Уравнение (4) показывает, что любую неправильную дробь многочленов можно упростить, представив ее в виде суммы целой части и правильной дроби.
По своей сути, целые десятичные числа являются многочленами, у которых переменная равна числу 10
.
Например, возьмем число 265847. Его можно представить в виде:
.
То есть это многочлен пятой степени от 10
.
Цифры 2, 6, 5, 8, 4, 7 являются коэффициентами разложения числа по степеням числа 10.
Поэтому к многочленам можно применить правило деления уголком (иногда его называют делением в столбик), применяемое к делению чисел. Единственное отличие заключается в том, что, при делении многочленов, не нужно переводить числа больше девяти в старшие разряды. Рассмотрим процесс деления многочленов уголком на конкретных примерах.
.
Здесь в числителе стоит многочлен четвертой степени. В знаменателе - многочлен второй степени. Поскольку 4 ≥ 2 , то дробь неправильная. Выделим целую часть, разделив многочлены уголком (в столбик):
Приведем подробное описание процесса деления. Исходные многочлены записываем в левый и правый столбики. Под многочленом знаменателя, в правом столбике, проводим горизонтальную черту (уголок). Ниже этой черты, под уголком, будет целая часть дроби.
1.1 Находим первый член целой части (под уголком). Для этого разделим старший член числителя на старший член знаменателя: .
1.2
Умножаем 2
x 2
на x 2 - 3
x + 5
:
. Результат записываем в левый столбик:
1.3
Берем разность многочленов в левом столбике:
.
Итак, мы получили промежуточный результат:
.
Дробь в правой части неправильная, поскольку степень многочлена в числителе (3
) больше или равна степени многочлена в знаменателе (2
). Повторяем вычисления. Только теперь числитель дроби находится в последней строке левого столбика.
2.1
Разделим старший член числителя на старший член знаменателя: ;
2.2
Умножаем на знаменатель: ;
2.3
И вычитаем из последней строки левого столбика: ;
Промежуточный результат:
.
Снова повторяем вычисления, поскольку в правой части стоит неправильная дробь.
3.1
;
3.2
;
3.3
;
Итак, мы получили:
.
Степень многочлена в числителе правой дроби меньше степени многочлена знаменателя, 1 < 2
.
Поэтому дробь - правильная.
;
2
x 2 - 4
x + 1
- это целая часть;
x - 8
- остаток от деления.
Выделить целую часть дроби и найти остаток от деления:
.
Выполняем те же действия, что и в предыдущем примере:
Здесь остаток от деления равен нулю:
.
Также можно умножать многочлены столбиком, аналогично умножению целых чисел. Рассмотрим конкретные примеры.
Найти произведение многочленов:
.
1
2.1
.
2.2
.
2.3
.
Результат записываем в столбик, выравнивая степени x
.
3
;
;
;
.
Заметим, что можно было записывать только коэффициенты, а степени переменной x
можно было опустить. Тогда умножение столбиком многочленов будет выглядеть так:
Найти произведение многочленов столбиком:
.
При умножении многочленов столбиком важно записывать одинаковые степени переменной x друг под другом. Если некоторые степени x пропущены, то их следует записывать явно, умножив на нуль, либо оставлять пробелы.
В этом примере некоторые степени пропущены. Поэтому запишем их явно, умноженными на нуль:
.
Умножаем многочлены столбиком.
1 Записываем исходные многочлены друг под другом в столбик и проводим черту.
2.1
Умножаем младший член второго многочлена на первый многочлен:
.
Результат записываем в столбик.
2.2 Следующий член второго многочлена равен нулю. Поэтому его произведение на первый многочлен также равно нулю. Нулевую строку можно не записывать.
2.3
Умножаем следующий член второго многочлена на первый многочлен:
.
Результат записываем в столбик, выравнивая степени x
.
2.3
Умножаем следующий (старший) член второго многочлена на первый многочлен:
.
Результат записываем в столбик, выравнивая степени x
.
3
После того, как все члены второго многочлена умножили на первый, проводим черту и складываем члены с одинаковыми степенями x
:
.
Общий вид одночлена
f(x)=ax n , где:
-a - коэффициент, который может принадлежать любому из множеств N, Z, Q, R, C
-x - переменная
-n показатель степени, который принадлежит множеству N
Два одночлена подобны, если они имеют одну и ту же переменную и одинаковый показатель степени.
Примеры: 3x 2 и -5x 2 ; ½x 4 и 2√3x 4
Сумма одночленов, не подобных друг другу, называется многочленом (или полиномом). В этом случае одночлены являются слагаемыми полинома. Полином, содержащий два слагаемых, называется биномом (или двучленом).
Пример: p(x)=3x 2 -5; h(x)=5x-1
Полином, содержащий три слагаемых, называется трехчленом.
Общий вид многочлена с одной переменной
где:
Пример 1
p(x)=5x 3 -2x 2 +7x-1
Пример 2
h(x)=-2√3x 4 +½x-4
p(x)
и q(x)
- два полинома:
p(x)=a n x n +a n-1 x n-1 +...+a 1 x 1
+a 0
q(x)=a p x p +a p-1 x p-1 +...+a 1 x 1
+a 0
Чтобы найти частное и остаток от деления p(x)
на q(x)
, нужно использовать следующий алгоритм:
Пример 1
Шаг 1 и 2) $p(x)=x^5-3x^4+2x^3+7x^2-3x+5 \\ q(x)=x^2-x+1$
3) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5
4) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5
5) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5
6) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5
/ -2x 4 -x 3 +7x 2 -3x+5
7) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5
/ -2x 4 +x 3 +7x 2 -3x+5
2x 4 -2x 3 +2x 2
/ -x 3 +9x 2 -3x+5
8) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5
/ -2x 4 -x 3 +7x 2 -3x+5
2x 4 -2x 3 +2x 2
/ -x 3 +9x 2 -3x+5
/ 6x-3 СТОП
x 3 -2x 2 -x+8 --> C(x) Частное
Ответ: p(x) = x 5 - 3x 4 + 2x 3 + 7x 2 - 3x + 5 = (x 2 - x + 1)(x 3 - 2x 2 - x + 8) + 6x - 3
Пример 2
p(x)=x 4 +3x 2 +2x-8
q(x)=x 2 -3x
X 4 +0x 3 +3x 2 +2x-8
/ 3x 3 +3x 2 +2x-8
/ 38x-8 r(x) СТОП
x 2 +3x+12 --> C(x) Частное
Ответ: x 4 + 3x 2 + 2x - 8 = (x 2 - 3x)(x 2 + 3x + 12) + 38x - 8
Это деление можно выполнить с использованием вышеупомянутого алгоритма или даже более быстрым образом, если воспользоваться методом Горнера.
Если f(x)=a n x n +a n-1 x n-1
+...+a 1 x+a 0
, полином можно переписать в виде f(x)=a 0 +x(a 1 +x(a 2 +...+x(a n-1 +a n x)...))
q(x)
- полином первой степени ⇒ q(x)=mx+n
Тогда полином в частном будет иметь степень n-1
.
По методу Горнера, $x_0=-\frac{n}{m}$.
b n-1 =a n
b n-2 =x 0 .b n-1 +a n-1
b n-3 =x 0 .b n-2 +a n-2
...
b 1 =x 0 .b 2 +a 2
b 0 =x 0 .b 1 +a 1
r=x 0 .b 0 +a 0
где b n-1 x n-1 +b n-2 x n-2 +...+b 1 x+b 0
- частное.
Остатком будет полином нулевой степени, поскольку степень полинома в остатке должна быть меньше, чем степень делителя.
Деление с остатком ⇒
p(x)=q(x).c(x)+r ⇒ p(x)=(mx+n).c(x)+r
если $x_0=-\frac{n}{m}$
Отметим, что p(x 0)=0.c(x 0)+r ⇒ p(x 0)=r
Пример 3
p(x)=5x 4 -2x 3 +4x 2 -6x-7
q(x)=x-3
p(x)=-7+x(-6+x(4+x(-2+5x)))
x 0 =3
b 3 =5
b 2 =3.5-2=13
b 1 =3.13+4=43 ⇒ c(x)=5x 3 +13x 2 +43x+123; r=362
b 0 =3.43-6=123
r=3.123-7=362
5x 4 -2x 3 +4x 2 -6x-7=(x-3)(5x 3 +13x 2 +43x+123)+362
Пример 4
p(x)=-2x 5 +3x 4 +x 2 -4x+1
q(x)=x+2
p(x)=-2x 5 +3x 4 +0x 3 +x 2 -4x+1
q(x)=x+2
x 0 =-2
p(x)=1+x(-4+x(1+x(0+x(3-2x))))
b 4 =-2
b 1 =(-2).(-14)+1=29
b 3 =(-2).(-2)+3=7 b 0 =(-2).29-4=-62
b 2 =(-2).7+0=-14
r=(-2).(-62)+1=125
⇒ c(x)=-2x 4 +7x 3 -14x 2 +29x-62; r=125
-2x 5 +3x 4 +x 2 -4x+1=(x+2)(-2x 4 +7x 3 -14x 2 +29x-62)+125
Пример 5
p(x)=3x 3 -5x 2 +2x+3
q(x)=2x-1
$x_0=\frac{1}{2}$
p(x)=3+x(2+x(-5+3x))
b 2 =3
$b_1=\frac{1}{2}\cdot 3-5=-\frac{7}{2}$
$b_0=\frac{1}{2}\cdot \left(-\frac{7}{2}\right)+2=-\frac{7}{4}+2=\frac{1}{4}$
$r=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}+3=\frac{1}{8}+3=\frac{25}{8} \Rightarrow c(x)=3x^2-\frac{7}{2}x+\frac{1}{4}$
$\Rightarrow 3x^3-5x^2+2x+3=(2x-1)(3x^2--\frac{7}{2}x+\frac{1}{4})+\frac{25}{8}$
Вывод
Если мы делим на полином степени выше, чем один, для нахождения частного и остатка нужно воспользоваться алгоритмом 1-9
.
Если мы делим на полином первой степени
mx+n
, то для нахождения частного и остатка нужно использовать метод Горнера с $x_0=-\frac{n}{m}$.
Если нас интересует только остаток от деления, достаточно найти p(x 0)
.
Пример 6
p(x)=-4x 4 +3x 3 +5x 2 -x+2
q(x)=x-1
x 0 =1
r=p(1)=-4.1+3.1+5.1-1+2=5
r=5
Начнём с некоторых определений. Многочленом n-й степени (или n-го порядка) будем именовать выражение вида $P_n(x)=\sum\limits_{i=0}^{n}a_{i}x^{n-i}=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\ldots+a_{n-1}x+a_n$. Например, выражение $4x^{14}+87x^2+4x-11$ есть многочлен, степень которого равна $14$. Его можно обозначить так: $P_{14}(x)=4x^{14}+87x^2+4x-11$.
Коэффициент $a_0$ называют старшим коэффициентом многочлена $P_n(x)$. Например, для многочлена $4x^{14}+87x^2+4x-11$ старший коэффициент равен $4$ (число перед $x^{14}$). Число $a_n$ называют свободным членом многочлена $P_n(x)$. Например, для $4x^{14}+87x^2+4x-11$ свободный член равен $(-11)$. Теперь обратимся к теореме, на которой, собственно говоря, и будет основано изложение материала на данной странице.
Для любых двух многочленов $P_n(x)$ и $G_m(x)$ можно найти такие многочлены $Q_p(x)$ и $R_k(x)$, что будет выполнено равенство
\begin{equation} P_n(x)=G_m(x)\cdot Q_p(x)+R_k(x) \end{equation}
причём $k < m$.
Словосочетание "разделить многочлен $P_n(x)$ на многочлен $G_m(x)$" означает "представить многочлен $P_n(x)$ в форме (1)". Будем называть многочлен $P_n(x)$ - делимым, многочлен $G_m(x)$ - делителем, многочлен $Q_p(x)$ - частным от деления $P_n(x)$ на $G_m(x)$, а многочлен $R_k(x)$ - остачей от деления $P_n(x)$ на $G_m(x)$. Например, для многочленов $P_6(x)=12x^6+3x^5+16x^4+6x^3+8x^2+2x+1$ и $G_4(x)=3x^4+4x^2+2$ можно получить такое равенство:
$$ 12x^6+3x^5+16x^4+6x^3+8x^2+2x+1=(3x^4+4x^2+2)(4x^2+x)+2x^3+1 $$
Здесь многочлен $P_6(x)$ является делимым, многочлен $G_4(x)$ - делителем, многочлен $Q_2(x)=4x^2+x$ - частным от деления $P_6(x)$ на $G_4(x)$, а многочлен $R_3(x)=2x^3+1$ - остатком от деления $P_6(x)$ на $G_4(x)$. Замечу, что степень остатка (т.е. 3) меньше степени делителя, (т.е. 4), посему условие равенства соблюдено.
Если $R_k(x)\equiv 0$, то говорят, что многочлен $P_n(x)$ делится на многочлен $G_m(x)$ без остатка. Например, многочлен $21x^6+6x^5+105x^2+30x$ делится на многочлен $3x^4+15$ без остатка, так как выполнено равенство:
$$ 21x^6+6x^5+105x^2+30x=(3x^4+15)\cdot(7x^2+2x) $$
Здесь многочлен $P_6(x)=21x^6+6x^5+105x^2+30x$ является делимым; многочлен $G_4(x)=3x^4+15$ - делителем; а многочлен $Q_2(x)=7x^2+2x$ - частным от деления $P_6(x)$ на $G_4(x)$. Остаток равен нулю.
Чтобы разделить многочлен на многочлен часто применяют деление "столбиком" или, как его ещё называют, "уголком". Реализацию этого метода разберём на примерах.
Перед тем, как перейти к примерам, я введу ещё один термин. Он не является общепринятым , и использовать его мы будем исключительно для удобства изложения материала. До конца этой страницы будем называть старшим элементом многочлена $P_n(x)$ выражение $a_{0}x^{n}$. Например, для многочлена $4x^{14}+87x^2+4x-11$ старшим элементом будет $4x^{14}$.
Пример №1
Разделить $10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5$ на $5x^2-x+2$, используя деление "столбиком".
Итак, мы имеем два многочлена, $P_5(x)=10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5$ и $G_2(x)=5x^2-x+2$. Степень первого равна $5$, а степень второго равна $2$. Многочлен $P_5(x)$ - делимое, а многочлен $G_2(x)$ - делитель. Наша задача состоит в нахождении частного и остатка. Поставленную задачу будем решать пошагово. Будем использовать ту же запись, что и для деления чисел:
Первый шаг
Разделим старший элемент многочлена $P_5(x)$ (т.е. $10x^5$) на старший элемент многочлена $Q_2(x)$ (т.е. $5x^2$):
$$ \frac{10x^5}{5x^2}=2x^{5-2}=2x^3. $$
Полученное выражение $2x^3$ - это первый элемент частного:
Умножим многочлен $5x^2-x+2$ на $2x^3$, получив при этом:
$$ 2x^3\cdot (5x^2-x+2)=10x^5-2x^4+4x^3 $$
Запишем полученный результат:
Теперь вычтем из многочлена $10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5$ многочлен $10x^5-2x^4+4x^3$:
$$ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5-(10x^5-2x^4+4x^3)=5x^4-16x^3+25x^2-2x+5 $$
На этом первый шаг заканчивается. Тот результат, что мы получили, можно записать в развёрнутой форме:
$$ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5=(5x^2-x+2)\cdot 2x^3+5x^4-16x^3+25x^2-2x+5 $$
Так как степень многочлена $5x^4-16x^3+25x^2-2x+5$ (т.е. 4) больше степени многочлена $5x^2-x+2$ (т.е. 2), то процесс деления надобно продолжить. Перейдём ко второму шагу.
Второй шаг
Теперь уже будем работать с многочленами $5x^4-16x^3+25x^2-2x+5$ и $5x^2-x+2$. Точно так же, как и на первом шаге, разделим старший элемент первого многочлена (т.е. $5x^4$) на старший элемент второго многочлена (т.е. $5x^2$):
$$ \frac{5x^4}{5x^2}=x^{4-2}=x^2. $$
Полученное выражение $x^2$ - это второй элемент частного. Прибавим к частному $x^2$
Умножим многочлен $5x^2-x+2$ на $x^2$, получив при этом:
$$ x^2\cdot (5x^2-x+2)=5x^4-x^3+2x^2 $$
Запишем полученный результат:
Теперь вычтем из многочлена $5x^4-16x^3+25x^2-2x+5$ многочлен $5x^4-x^3+2x^2$:
$$ 5x^4-16x^3+25x^2-2x+5-(5x^4-x^3+2x^2)=-15x^3+23x^2-2x+5 $$
Этот многочлен допишем уже под чертой:
На этом второй шаг заканчивается. Полученный результат можно записать в развёрнутой форме:
$$ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5=(5x^2-x+2)\cdot (2x^3+x^2)-15x^3+23x^2-2x+5 $$
Так как степень многочлена $-15x^3+23x^2-2x+5$ (т.е. 3) больше степени многочлена $5x^2-x+2$ (т.е. 2), то продолжаем процесс деления. Перейдём к третьему шагу.
Третий шаг
Теперь уже будем работать с многочленами $-15x^3+23x^2-2x+5$ и $5x^2-x+2$. Точно так же, как и на предыдущих шагах, разделим старший элемент первого многочлена (т.е. $-15x^3$) на старший элемент второго многочлена (т.е. $5x^2$):
$$ \frac{-15x^3}{5x^2}=-3x^{2-1}=-3x^1=-3x. $$
Полученное выражение $(-3x)$ - это третий элемент частного. Допишем к частному $-3x$
Умножим многочлен $5x^2-x+2$ на $(-3x)$, получив при этом:
$$ -3x\cdot (5x^2-x+2)=-15x^3+3x^2-6x $$
Запишем полученный результат:
Теперь вычтем из многочлена $-15x^3+23x^2-2x+5$ многочлен $-15x^3+3x^2-6x$:
$$ -15x^3+23x^2-2x+5-(-15x^3+3x^2-6x)=20x^2+4x+5 $$
Этот многочлен допишем уже под чертой:
На этом третий шаг заканчивается. Полученный результат можно записать в развёрнутой форме:
$$ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5=(5x^2-x+2)\cdot (2x^3+x^2-3x)+20x^2+4x+5 $$
Так как степень многочлена $20x^2+4x+5$ (т.е. 2) равна степени многочлена $5x^2-x+2$ (т.е. 2), то продолжаем процесс деления. Перейдём к четвёртому шагу.
Четвёртый шаг
Теперь уже будем работать с многочленами $20x^2+4x+5$ и $5x^2-x+2$. Точно так же, как и на предыдущих шагах, разделим старший элемент первого многочлена (т.е. $20x^2$) на старший элемент второго многочлена (т.е. $5x^2$):
$$ \frac{20x^2}{5x^2}=4x^{2-2}=4x^0=4. $$
Полученное число $4$ - это четвёртый элемент частного. Допишем к частному $4$
Умножим многочлен $5x^2-x+2$ на $4$, получив при этом:
$$ 4\cdot (5x^2-x+2)=20x^2-4x+8 $$
Запишем полученный результат:
Теперь вычтем из многочлена $20x^2+4x+5$ многочлен $20x^2-4x+8$.
