Методы решения алгебраических уравнений высших степеней.
Хабибуллина Альфия Якубовна ,
учитель математики высшей категории МБОУ СОШ №177
города Казани, Заслуженный учитель Республики Татарстан,
кандидат педагогических наук.
Определение 1. Алгебраическим уравнением степени n называется уравнение вида P n (x)=0, где P n (x) - многочлен степени n, т.е. P n (x)= a 0 x n +a 1 x n-1 +…+a n-1 x+a n a 0.
Определение 2. Корень уравнения – числовое значение переменной х, которое при подстановке в данное уравнение дает верное равенство.
Определение 3. Решить уравнение означает найти все его корни или доказать, что их нет.
I. Метод разложения многочлена на множители с последующим дроблением .
Уравнение можно разложить на множители и решить методом дробления, то есть, разбивая на совокупность уравнений меньших степеней.
Замечание : вообще, при решении уравнения методом дробления не следует забывать, что произведение равно нулю тогда, и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другие при этом сохраняют смысл.
Пути разложения многочлена на множители :
1. Вынесение общего множителя за скобки.
2.
Квадратный трехчлен
можно разложить на множители с помощью формулы ах
2
+вх+с=а(х-х
1
)(х-х
2
),
где а
0, х 1 и х 2 – корни квадратного трехчлена.
3. Использование формул сокращенного умножения :
а n – в n = (а - в)(а n-1 + Сn- 2 а n-2 в + Сn- 3 а n-3 в + …+ С 1 а в n-2 +в n-1), n
N.
Выделение полного квадрата . Многочлен можно разложить на множители с помощью формулы разности квадратов, предварительно выделив полный квадрат суммы или разности выражений.
4. Группировка (в сочетании с вынесением общего множителя за скобки).
5. Использование следствия теоремы Безу .
1)если уравнение а 0 х n + a 1 x n-1 +…+ a n-1 x + a n = 0 , a 0 0 c целыми коэффициентами имеет рациональный корень х 0 =
(где - несократимая дробь, p
q
), то p –делитель свободного члена a n , а q – делитель старшего коэффициента a 0 .
2)если х = х 0 – корень уравнения Р n (х) = 0, то Р n (х) = 0 равносильно уравнению
(х – х 0)Р n-1 (х)=0, где Р n-1 (х) – многочлен, который можно найти при делении
Р n (х) на (х – х 0) “уголком” или методом неопределенных коэффициентов.
II . Метод введения новой переменной (Подстановка )
Рассмотрим уравнение f(x)=g(x). Оно равносильно уравнению f(x)-g(х) = 0. Обозначим разность f(x)-g(х) = h(р (x)), причем 
. Введем замену t=р (x) (функция t= р(x) называется подстановка
). Тогда получим уравнение h(р (x)) =0 или h(t)=0 , решив последнее уравнение, находим t 1 , t 2 , … Вернувшись в подстановку р(x)=t 1 , р(x)=t 2 ,…, находим значения переменной х.
III Метод строгой монотонности.
Теорема. Если у= f(x) строго монотонна на P, то уравнение f(x)=а (а - const) имеет на множестве Р не более одного корня. (Функция строго монотонная: либо только убывающая, либо только возрастающая)
Замечание. Можно использовать модификацию этого метода. Рассмотрим уравнение f(x)=g(x). Если функция у= f(x) монотонно убывает на P, а функция у= g(x) монотонно убывает на Р (или наоборот), то уравнение f(x)=g(x) имеет на множестве Р не более одного корня.
IV . Метод сравнения множества значений обеих частей уравнения (метод оценки)
Теорема
Если для любого x из множества P выполняются неравенства f(x)
а, и g(x)
а, то уравнение f(x)=g(x) на множестве Р равносильно системе 
.
Следствие
: Если на множестве Р 
или 
, то уравнение f(x)=g(x) не имеет корней.
Этот метод достаточно эффективен при решении трансцендентных уравнений
V . Метод перебора делителей крайних коэффициентов
Рассмотрим уравнение a 0 x n +a 1 x n-1 +…+a n-1 x+a n = 0
Теорема.
Если x 0 = 
- корень алгебраического уравнения степени n, а i – целые коэффициенты, то p – делитель свободного члена а n , а q – делитель старшего коэффициента a 0 . При а 0 =1 x 0 =p (делитель свободного члена).
Следствие теоремы Безу: Если х 0 – корень алгебраического уравнения, то P n (x) делится на (x-x 0) без остатка, т.е P n (x)=(x-x 0)Q n-1 (x).
VI Метод неопределенных коэффициентов.
Он базируется на следующих утверждениях:
два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях х.
любой многочлен третьей степени разлагается в произведение двух множителей: линейного и квадратного.
любой многочлен четвертой степени разлагается в произведение двух многочленов
второй степени.
VII. Схема Горнера .
С помощью таблицы коэффициентов по алгоритму Горнера подбором находятся корни уравнения среди делителей свободного члена.
VIII . Метод производных.
Теорема.
Если 2 многочлена P(x) и Q(x) имеют тождественно равные производные, то существует такая С- const, что P(x)=Q(x)+С для 
x
R.
Tеорема
. Если 
(x) и 
(x) делятся на 
, то (x) делится на 
.
Следствие
: Если (x) и (x) делятся на многочлен R(x) , то (x) делится на 
(x), а наибольший общий делитель многочленов (x) и (x)
имеет корни, являющиеся лишь корнями многочлена (x) кратностью не менее 2.
IX . Симметрические, возвратные уравнения .
Определение
. Уравнение a 0 x n +a 1 x n-1 +…+a n-1 x+a n = 0 называется симметрическим
, если 
1. Рассмотрим случай, когда n-четное, n =2k. Если 
, тогда x = 0 не является корнем уравнения, что дает право разделить уравнение на 
0 
+
+
+
=0 Введем замену t=
и, учитывая лемму, решим квадратное уравнение относительно переменной t. Обратная подстановка даст решение относительно переменной х.
2. Рассмотрим случай, когда n-нечетное, n=2k+1. Тогда 
= -1 является корнем уравнения. Разделим уравнение на 
и получаем случай 1.. Обратная подстановка позволяет найти значения х. Заметим, что при m=-1 уравнение называется Преобразуем алгебраическое уравнение P n (x)=0 (где P n (x)- многочлен степени n) в уравнение вида f(x)=g(x). Зададим функции у=f(x), у=g(x); опишем их свойства и построим графики в одной системе координат. Абсциссы точек пересечения будут являться корнями уравнения. Проверка выполняется подстановкой в исходное уравнение.
В общем случае уравнение, имеющее степень выше 4 , нельзя разрешить в радикалах. Но иногда мы все же можем найти корни многочлена, стоящего слева в уравнении высшей степени, если представим его в виде произведения многочленов в степени не более 4 -х. Решение таких уравнений базируется на разложении многочлена на множители, поэтому советуем вам повторить эту тему перед изучением данной статьи.
Чаще всего приходится иметь дело с уравнениями высших степеней с целыми коэффициентами. В этих случаях мы можем попробовать найти рациональные корни, а потом разложить многочлен на множители, чтобы потом преобразовать его в уравнение более низкой степени, которое будет просто решить. В рамках этого материала мы рассмотрим как раз такие примеры.
Все уравнения, имеющие вид a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = 0 , мы можем привести к уравнению той же степени с помощью умножения обеих частей на a n n - 1 и осуществив замену переменной вида y = a n x:
a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = 0 a n n · x n + a n - 1 · a n n - 1 · x n - 1 + … + a 1 · (a n) n - 1 · x + a 0 · (a n) n - 1 = 0 y = a n x ⇒ y n + b n - 1 y n - 1 + … + b 1 y + b 0 = 0
Те коэффициенты, что получились в итоге, также будут целыми. Таким образом, нам нужно будет решить приведенное уравнение n-ной степени с целыми коэффициентами, имеющее вид x n + a n x n - 1 + … + a 1 x + a 0 = 0 .
Вычисляем целые корни уравнения. Если уравнение имеет целые корни, нужно искать их среди делителей свободного члена a 0 . Выпишем их и будем подставлять в исходное равенство по очереди, проверяя результат. Как только мы получили тождество и нашли один из корней уравнения, то можем записать его в виде x - x 1 · P n - 1 (x) = 0 . Здесь x 1 является корнем уравнения, а P n - 1 (x) представляет собой частное от деления x n + a n x n - 1 + … + a 1 x + a 0 на x - x 1 .
Подставляем остальные выписанные делители в P n - 1 (x) = 0 , начав с x 1 , поскольку корни могут повторяться. После получения тождества корень x 2 считается найденным, а уравнение может быть записано в виде (x - x 1) (x - x 2) · P n - 2 (x) = 0 .Здесь P n - 2 (x) будет частным от деления P n - 1 (x) на x - x 2 .
Продолжаем и дальше перебирать делители. Найдем все целые корни и обозначим их количество как m . После этого исходное уравнение можно представить как x - x 1 x - x 2 · … · x - x m · P n - m (x) = 0 . Здесь P n - m (x) является многочленом n - m -ной степени. Для подсчета удобно использовать схему Горнера.
Если у нас исходное уравнение имеет целые коэффициенты, мы не можем получить в итоге дробные корни.
У нас в итоге получилось уравнение P n - m (x) = 0 , корни которого могут быть найдены любым удобным способом. Они могут быть иррациональными или комплексными.
Покажем на конкретном примере, как применяется такая схема решения.
Пример 1
Условие: найдите решение уравнения x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = 0 .
Решение
Начнем с нахождений целых корней.
У нас есть свободный член, равный минус трем. У него есть делители, равные 1 , - 1 , 3 и - 3 . Подставим их в исходное уравнение и посмотрим, какие из них дадут в итоге тождества.
При x , равном единице, мы получим 1 4 + 1 3 + 2 · 1 2 - 1 - 3 = 0 , значит, единица будет корнем данного уравнения.
Теперь выполним деления многочлена x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 на (х - 1) в столбик:
Значит, x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = x - 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 .
1 3 + 2 · 1 2 + 4 · 1 + 3 = 10 ≠ 0 (- 1) 3 + 2 · (- 1) 2 + 4 · - 1 + 3 = 0
У нас получилось тождество, значит, мы нашли еще один корень уравнения, равный - 1 .
Делим многочлен x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 на (х + 1) в столбик:
Получаем, что
x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = (x - 1) (x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3) = = (x - 1) (x + 1) (x 2 + x + 3)
Подставляем очередной делитель в равенство x 2 + x + 3 = 0 , начиная с - 1:
1 2 + (- 1) + 3 = 3 ≠ 0 3 2 + 3 + 3 = 15 ≠ 0 (- 3) 2 + (- 3) + 3 = 9 ≠ 0
Равенства, полученные в итоге, будут неверными, значит, у уравнения больше нет целых корней.
Оставшиеся корни будут корнями выражения x 2 + x + 3 .
D = 1 2 - 4 · 1 · 3 = - 11 < 0
Из этого следует, что у данного квадратного трехчлена нет действительных корней, но есть комплексно сопряженные: x = - 1 2 ± i 11 2 .
Уточним, что вместо деления в столбик можно применять схему Горнера. Это делается так: после того, как мы определили первый корень уравнения, заполняем таблицу.
В таблице коэффициентов мы сразу можем увидеть коэффициенты частного от деления многочленов, значит, x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = x - 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 .
После нахождения следующего корня, равного - 1 , мы получаем следующее:
Ответ: х = - 1 , х = 1 , x = - 1 2 ± i 11 2 .
Пример 2
Условие: решите уравнение x 4 - x 3 - 5 x 2 + 12 = 0 .
Решение
У свободного члена есть делители 1 , - 1 , 2 , - 2 , 3 , - 3 , 4 , - 4 , 6 , - 6 , 12 , - 12 .
Проверяем их по порядку:
1 4 - 1 3 - 5 · 1 2 + 12 = 7 ≠ 0 (- 1) 4 - (- 1) 3 - 5 · (- 1) 2 + 12 = 9 ≠ 0 2 4 · 2 3 - 5 · 2 2 + 12 = 0
Значит, x = 2 будет корнем уравнения. Разделим x 4 - x 3 - 5 x 2 + 12 на х - 2 , воспользовавшись схемой Горнера:
В итоге мы получим x - 2 (x 3 + x 2 - 3 x - 6) = 0 .
2 3 + 2 2 - 3 · 2 - 6 = 0
Значит, 2 опять будет корнем. Разделим x 3 + x 2 - 3 x - 6 = 0 на x - 2:
В итоге получим (x - 2) 2 · (x 2 + 3 x + 3) = 0 .
Проверка оставшихся делителей смысла не имеет, поскольку равенство x 2 + 3 x + 3 = 0 быстрее и удобнее решить с помощью дискриминанта.
Решим квадратное уравнение:
x 2 + 3 x + 3 = 0 D = 3 2 - 4 · 1 · 3 = - 3 < 0
Получаем комплексно сопряженную пару корней: x = - 3 2 ± i 3 2 .
Ответ : x = - 3 2 ± i 3 2 .
Пример 3
Условие: найдите для уравнения x 4 + 1 2 x 3 - 5 2 x - 3 = 0 действительные корни.
Решение
x 4 + 1 2 x 3 - 5 2 x - 3 = 0 2 x 4 + x 3 - 5 x - 6 = 0
Выполняем домножение 2 3 обеих частей уравнения:
2 x 4 + x 3 - 5 x - 6 = 0 2 4 · x 4 + 2 3 x 3 - 20 · 2 · x - 48 = 0
Заменяем переменные y = 2 x:
2 4 · x 4 + 2 3 x 3 - 20 · 2 · x - 48 = 0 y 4 + y 3 - 20 y - 48 = 0
В итоге у нас получилось стандартное уравнение 4 -й степени, которое можно решить по стандартной схеме. Проверим делители, разделим и получим в итоге, что оно имеет 2 действительных корня y = - 2 , y = 3 и два комплексных. Решение целиком здесь мы не будем приводить. В силу замены действительными корнями данного уравнения будут x = y 2 = - 2 2 = - 1 и x = y 2 = 3 2 .
Ответ: x 1 = - 1 , x 2 = 3 2
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Рассмотрим решения уравнений с одной переменной степени выше второй.
Степенью уравнения Р(х) = 0 называется степень многочлена Р(х), т.е. наибольшая из степеней его членов с коэффициентом, не равным нулю.
Так, например, уравнение (х 3 – 1) 2 + х 5 = х 6 – 2 имеет пятую степень, т.к. после операций раскрытия скобок и приведения подобных получим равносильное уравнение х 5 – 2х 3 + 3 = 0 пятой степени.
Вспомним правила, которые понадобятся для решения уравнений степени выше второй.
Утверждения о корнях многочлена и его делителях:
1. Многочлен n-й степени имеет число корней не превышающее число n, причем корни кратности m встречаются ровно m раз.
2. Многочлен нечетной степени имеет хотя бы один действительный корень.
3. Если α – корень Р(х), то Р n (х) = (х – α) · Q n – 1 (x), где Q n – 1 (x) – многочлен степени (n – 1).
4.
5. Приведенный многочлен с целыми коэффициентами не может иметь дробных рациональных корней.
6. Для многочлена третьей степени
Р 3 (х) = ах 3 + bx 2 + cx + d возможно одно из двух: либо он разлагается в произведение трех двучленов
Р 3 (x) = а(х – α)(х – β)(х – γ), либо разлагается в произведение двучлена и квадратного трехчлена Р 3 (x) = а(х – α)(х 2 + βх + γ).
7. Любой многочлен четвертой степени раскладывается в произведение двух квадратных трехчленов.
8. Многочлен f(x) делится на многочлен g(х) без остатка, если существует многочлен q(x), что f(x) = g(x) · q(x). Для деления многочленов применяется правило «деления уголком».
9. Для делимости многочлена P(x) на двучлен (x – c) необходимо и достаточно, чтобы число с было корнем P(x) (Следствие теоремы Безу).
10. Теорема Виета: Если х 1 , х 2 , …, х n – действительные корни многочлена
Р(х) = а 0 х n + а 1 х n - 1 + … + а n , то имеют место следующие равенства:
х 1 + х 2 + … + х n = -а 1 /а 0 ,
х 1 · х 2 + х 1 · х 3 + … + х n – 1 · х n = a 2 /а 0 ,
х 1 · х 2 · х 3 + … + х n – 2 · х n – 1 · х n = -a 3 / а 0 ,
х 1 · х 2 · х 3 · х n = (-1) n a n / а 0 .
Решение примеров
Пример 1.
Найти остаток от деления Р(х) = х 3 + 2/3 x 2 – 1/9 на (х – 1/3).
Решение.
По следствию из теоремы Безу: «Остаток от деления многочлена на двучлен (х – с) равен значению многочлена от с». Найдем Р(1/3) = 0. Следовательно, остаток равен 0 и число 1/3 – корень многочлена.
Ответ: R = 0.
Пример 2.
Разделить «уголком» 2х 3 + 3x 2 – 2х + 3 на (х + 2). Найти остаток и неполное частное.
Решение:
2х 3 + 3x 2 – 2х + 3| х + 2
2х 3 + 4 x 2 2x 2 – x
X 2 – 2 x
Ответ: R = 3; частное: 2х 2 – х.
Основные методы решения уравнений высших степеней
1. Введение новой переменной
Метод введения новой переменной уже знаком на примере биквадратных уравнений. Он заключается в том, что для решения уравнения f(x) = 0 вводят новую переменную (подстановку) t = x n или t = g(х) и выражают f(x) через t, получая новое уравнение r(t). Решая затем уравнение r(t), находят корни:
(t 1 , t 2 , …, t n). После этого получают совокупность n уравнений q(x) = t 1 , q(x) = t 2 , … , q(x) = t n , из которых находят корни исходного уравнения.
Пример 1.
(х 2 + х + 1) 2 – 3х 2 – 3x – 1 = 0.
Решение:
(х 2 + х + 1) 2 – 3(х 2 + x) – 1 = 0.
(х 2 + х + 1) 2 – 3(х 2 + x + 1) + 3 – 1 = 0.
Замена (х 2 + х + 1) = t.
t 2 – 3t + 2 = 0.
t 1 = 2, t 2 = 1. Обратная замена:
х 2 + х + 1 = 2 или х 2 + х + 1 = 1;
х 2 + х - 1 = 0 или х 2 + х = 0;
Ответ: Из первого уравнения: х 1, 2 = (-1 ± √5)/2, из второго: 0 и -1.
2. Разложение на множители методом группировки и формул сокращенного умножения
Основа данного метода также не нова и заключается в группировке слагаемых таким образом, чтобы каждая группа содержала общий множитель. Для этого иногда приходится применять некоторые искусственные приемы.
Пример 1.
х 4 – 3x 2 + 4х – 3 = 0.
Решение.
Представим - 3x 2 = -2x 2 – x 2 и сгруппируем:
(х 4 – 2x 2) – (x 2 – 4х + 3) = 0.
(х 4 – 2x 2 +1 – 1) – (x 2 – 4х + 3 + 1 – 1) = 0.
(х 2 – 1) 2 – 1 – (x – 2) 2 + 1 = 0.
(х 2 – 1) 2 – (x – 2) 2 = 0.
(х 2 – 1 – х + 2)(х 2 – 1 + х - 2) = 0.
(х 2 – х + 1)(х 2 + х – 3) = 0.
х 2 – х + 1 = 0 или х 2 + х – 3 = 0.
Ответ: В первом уравнении нет корней, из второго: х 1, 2 = (-1 ± √13)/2.
3. Разложение на множитель методом неопределенных коэффициентов
Суть метода состоит в том, что исходный многочлен раскладывается на множители с неизвестными коэффициентами. Используя свойство, что многочлены равны, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях, находят неизвестные коэффициенты разложения.
Пример 1.
х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = 0.
Решение.
Многочлен 3-й степени можно разложить в произведение линейного и квадратного множителей.
х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = (х – а)(x 2 + bх + c),
х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = х 3 +bx 2 + cх – ax 2 – abх – ac,
х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = х 3 + (b – a)x 2 + (cх – ab)х – ac.
Решив систему:
{b – a = 4,
{c – ab = 5,
{-ac = 2,
{a = -1,
{b = 3,
{c = 2, т.е.
х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = (х + 1)(x 2 + 3х + 2).
Корни уравнения (х + 1)(x 2 + 3х + 2) = 0 находятся легко.
Ответ: -1; -2.
4. Метод подбора корня по старшему и свободному коэффициенту
Метод опирается на применение теорем:
1) Всякий целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем свободного члена.
2) Для того, чтобы несократимая дробь p/q (p – целое, q – натуральное) была корнем уравнения с целыми коэффициентами, необходимо, чтобы число p было целым делителем свободного члена а 0 , а q – натуральным делителем старшего коэффициента.
Пример 1.
6х 3 + 7x 2 – 9х + 2 = 0.
Решение:
6: q = 1, 2, 3, 6.
Следовательно, p/q = ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6.
Найдя один корень, например – 2, другие корни найдем, используя деление уголком, метод неопределенных коэффициентов или схему Горнера.
Ответ: -2; 1/2; 1/3.
Остались вопросы? Не знаете, как решать уравнения?
Чтобы получить помощь репетитора – .
Первый урок – бесплатно!
blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
СХЕМА ГОРНЕРА
В РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРАМИ
ИЗ ГРУППЫ «С» ПРИ ПОДГОТОВКЕ К ЕГЭ
Казанцева Людмила Викторовна
учитель математики МБОУ «Уярская СОШ № 3»
На факультативных занятиях необходимо расширить круг имеющихся знаний за счет решения заданий повышенной сложности группы «С».
Даная работа освещает часть вопросов, рассматриваемых на дополнительных занятиях.
Целесообразно ввести схему Горнера после изучения темы «Деление многочлена на многочлен». Этот материал позволяет решать уравнения высших порядков не способом группировки многочленов, а более рациональным путем, экономящим время.
План занятий.
Занятие 1.
1. Объяснение теоретического материала.
2. Решение примеров а), б), в), г).
Занятие 2.
1. Решение уравнений а), б), в), г).
2. Нахождение рациональных корней многочлена
Применение схемы Горнера при решении уравнений с параметрами.
Занятие 3.
Задания а), б), в).
Занятие 4.
1. Задания г), д), е), ж), з).
Решение уравнений высших степеней.
Схема Горнера.
Теорема : Пусть несократимая дробь является корнем уравнения
a o x n + a 1 x n-1 + … + a n-1 x 1 + a n = 0
c целыми коэффициентами. Тогда число р является делителем старшего коэффициента а о .
Следствие : Любой целый корень уравнения с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена.
Следствие : Если старший коэффициент уравнения с целыми коэффициентами равен 1 , то все рациональные корни, если они существуют – целые.
Пример 1 . 2х 3 – 7х 2 + 5х – 1 = 0
Пусть несократимая дробь является корнем уравнения, тогда р является делителем числа 1: ± 1
q является делителем старшего члена: ± 1 ; ± 2
Рациональные корни уравнения надо искать среди чисел: ± 1; ± .
f(1) = 2 – 7 + 5 – 1 = – 1 ≠ 0
f(–1) = –2 – 7 – 5 – 1 ≠ 0
f(
) = – + – 1 = – + 
– = 0
Корнем является число .
Деление многочлена Р(х) = а о х п + a 1 x n -1 + … + a n на двучлен (х – £) удобно выполнять по схеме Горнера.
Обозначим неполное частное Р(х) на (х – £) через Q (x ) = b o x n -1 + b 1 x n -2 + … b n -1 ,
а остаток через b n
Р(х) = Q (x ) (x – £) + b n , то имеет место тождество
а о х п + a 1 x n-1 + … + a n = (b o x n-1 + … + b n-1 ) (х – £) + b n
Q (x ) – многочлен, степень которого на 1 ниже степени исходного многочлена. Коэффициенты многочлена Q (x ) определяются по схеме Горнера.
а о
a 1
a 2
a n-1
a n
b o = a о
b 1 = a 1 + £·b o
b 2 = a 2 + £·b 1
b n-1 = a n-1 + £·b n-2
b n = a n + £·b n-1
В первой строке этой таблицы записывают коэффициенты многочлена Р(х).
Если какая-то степень переменной отсутствует, то в соответствующей клетке таблицы пишется 0.
Старший коэффициент частного равен старшему коэффициенту делимого (а о = b o ). Если £ является корнем многочлена, то в последней клетке получается 0.
Пример 2 . Разложить на множители с целыми коэффициентами
Р(х) = 2х 4 – 7х 3 – 3х 2 + 5х – 1
± 1.
Подходит – 1.
Делим Р(х) на (х + 1)
2
– 7
– 3
5
– 1
– 1
2
– 9
6
– 1
0
2х 4 – 7х 3 – 3х 2 + 5х – 1 = (х + 1) (2х 3 – 9х 2 + 6х – 1)
Ищем целые корни среди свободного члена: ± 1
Так как старший член равен 1, то корнями могут быть дробные числа: – ; .
Подходит .
2
– 9
6
– 1
2
– 8
2
0
2х 3 – 9х 2 + 6х – 1 =(х – ) (2х 2 – 8х + 2) = (2х – 1) (х 2 – 4х + 1)
Трехчлен х 2 – 4х + 1 на множители с целыми коэффициентами не раскладывается.
Задание:
1. Разложите на множители с целыми коэффициентами:
а) х 3 – 2х 2 – 5х + 6
q : ± 1;
р: ± 1; ± 2; ± 3; ± 6
:± 1; ± 2; ± 3; ± 6
Находим рациональные корни многочлена f (1) = 1 – 2 – 5 + 6 = 0
х = 1
1
– 2
– 5
6
1
1
– 1
– 6
0
х 3 – 2х 2 – 5х + 6 = (х – 1) (х 2 – х – 6) = (х – 1) (х – 3) (х + 2)
Определим корни квадратного уравнения
х 2 – х – 6 = 0
х = 3; х = – 2
б) 2х 3 + 5х 2 + х – 2
р: ± 1; ± 2
q : ± 1; ± 2
:± 1; ± 2; ±
Найдем корни многочлена третьей степени
f (1) = 2 + 5 + 1 – 2 ≠ 0
f (–1) = – 2 + 5 – 1 – 2 = 0
Один из корней уравнения х = – 1
2
5
1
– 2
– 1
2
3
– 2
0
2х 3 + 5х 2 + х – 2 = (х + 1) (2х 2 + 3х – 2) = (х + 1) (х + 2) (2х – 1)
Разложим квадратный трехчлен 2х 2 + 3х – 2 на множители
2х 2 + 3х – 2 = 2 (х + 2) (х – )
D = 9 + 16 = 25
х 1 = – 2; х 2 =
в) х 3 – 3х 2 + х + 1
р: ± 1
q : ± 1
:± 1
f (1) = 1 – 3 + 1 – 1 = 0
Одним из корней многочлена третьей степени является х = 1
1
– 3
1
1
1
1
– 2
– 1
0
х 3 – 3х 2 + х + 1 = (х – 1) (х 2 – 2х – 1)
Найдем корни уравнения х 2 – 2х – 1 = 0
D = 4 + 4 = 8
х
1
= 1 – 
х
2
= 1 +
х
3
– 3х
2
+ х + 1 = (х – 1) (х – 1 + ) (х – 1 – )
г) х 3 – 2х – 1
р: ± 1
q : ± 1
:± 1
Определим корни многочлена
f (1) = 1 – 2 – 1 = – 2
f (–1) = – 1 + 2 – 1 = 0
Первый корень х = – 1
1
0
– 2
– 1
– 1
1
– 1
– 1
0
х 3 – 2х – 1 = (х + 1) (х 2 – х – 1)
х 2 – х – 1 = 0
D = 1 + 4 = 5
х
1,2
= 
х
3
– 2х – 1 = (х + 1) (х – 
) (х – 
)
2. Решить уравнение:
а) х 3 – 5х + 4 = 0
Определим корни многочлена третьей степени
:± 1; ± 2; ± 4
f (1) = 1 – 5 + 4 = 0
Одним из корней является х = 1
1
0
– 5
4
1
1
1
– 4
0
х 3 – 5х + 4 = 0
(х – 1) (х 2 + х – 4) = 0
х 2 + х – 4 = 0
D = 1 + 16 = 17
х
1
= 
; х
2
= 
Ответ:
1; ;
б) х 3 – 8х 2 + 40 = 0
Определим корни многочлена третьей степени.
:± 1; ± 2; ± 4; ± 5; ± 8; ± 10; ± 20; ± 40
f (1) ≠ 0
f (–1) ≠ 0
f (–2) = – 8 – 32 + 40 = 0
Одним из корней является х = – 2
1
– 8
0
40
– 2
1
– 10
20
0
Разложим многочлен третьей степени на множители.
х 3 – 8х 2 + 40 = (х + 2) (х 2 – 10х + 20)
Найдем корни квадратного уравнения х 2 – 10х + 20 = 0
D = 100 – 80 = 20
х
1
= 5 – 
; х
2
= 5 +
Ответ: – 2;
5 – ; 5 +
в) х 3 – 5х 2 + 3х + 1 = 0
Ищем целые корни среди делителей свободного члена: ± 1
f (–1) = – 1 – 5 – 3 + 1 ≠ 0
f (1) = 1 – 5 + 3 + 1 = 0
Подходит х = 1
1
– 5
3
1
1
1
– 4
– 1
0
х 3 – 5х 2 + 3х + 1 = 0
(х – 1) (х 2 – 4х – 1) = 0
Определяем корни квадратного уравнения х 2 – 4х – 1 = 0
D = 20
х = 2 + ; х = 2 –
Ответ:
2 – ; 1; 2 +
г) 2х 4 – 5х 3 + 5х 2 – 2 = 0
р: ± 1; ± 2
q : ± 1; ± 2
:± 1; ± 2; ±
f (1) = 2 – 5 + 5 – 2 = 0
Один из корней уравнения х = 1
2
– 5
5
0
– 2
1
2
– 3
2
2
0
2х 4 – 5х 3 + 5х 2 – 2 = 0
(х – 1) (2х 3 – 3х 2 + 2х + 2) = 0
Находим по такой же схеме корни уравнения третьей степени.
2х 3 – 3х 2 + 2х + 2 = 0
р: ± 1; ± 2
q : ± 1; ± 2
:± 1; ± 2; ±
f (1) = 2 – 3 + 2 + 2 ≠ 0
f (–1) = – 2 – 3 – 2 + 2 ≠ 0
f (2) = 16 – 12 + 4 + 2 ≠ 0
f (–2) = – 16 – 12 – 4 + 2 ≠ 0
f () = – + 1 + 2 ≠ 0
f (–) = – – – 1 + 2 ≠ 0
Следующий корень уравнения х = –
2
– 3
2
2
2
– 4
4
0
2х 3 – 3х 2 + 2х + 2 = 0
(х + ) (2х 2 – 4х + 4) = 0
Определим корни квадратного уравнения 2х 2 – 4х + 4 = 0
х 2 – 2х + 2 = 0
D = – 4 < 0
Следовательно, корнями исходного уравнения четвертой степени являются
1 и –
Ответ: –; 1
3. Найдите рациональные корни многочлена
а) х 4 – 2х 3 – 8х 2 + 13х – 24
q : ± 1
:± 1; ± 2; ± 3; ± 4; ± 6; ± 8; ± 12; ± 24
Подберем один из корней многочлена четвертой степени:
f (1) = 1 – 2 – 8 + 13 – 24 ≠ 0
f (–1) = 1 + 2 – 8 – 13 – 24 ≠ 0
f (2) = 16 – 16 – 32 + 26 – 24 ≠ 0
f (–2) = 16 + 16 – 72 – 24 ≠ 0
f (–3) = 81 + 54 – 72 – 39 – 24 = 0
Один из корней многочлена х 0= – 3.
х 4 – 2х 3 – 8х 2 + 13х – 24 = (х + 3) (х 3 – 5х 2 + 7х + 8)
Найдем рациональные корни многочлена
х 3 – 5х 2 + 7х + 8
р: ± 1; ± 2; ± 4; ± 8
q : ± 1
f (1) = 1 – 5 + 7 + 8 ≠ 0
f (–1) = – 1 – 5 – 7 – 8 ≠ 0
f (2) = 8 – 20 + 14 + 8 ≠ 0
f (–2) = – 8 – 20 – 14 + 8 ≠ 0
f (–4) = 64 – 90 – 28 + 8 ≠ 0
f (4) ≠ 0
f (–8) ≠ 0
f (8) ≠ 0
Кроме числа x 0 = – 3 других рациональных корней нет.
б) х 4 – 2х 3 – 13х 2 – 38х – 24
р: ± 1; ± 2; ± 3; ± 4; ± 6; ± 8; ± 12; ± 24
q : ± 1
f (1) = 1 + 2 – 13 – 38 – 24 ≠ 0
f (–1) = 1 – 2 – 13 + 38 – 24 = 39 – 39 = 0, то есть х = – 1 корень многочлена
1
2
– 13
– 38
– 24
– 1
1
1
– 14
– 24
0
х 4 – 2х 3 – 13х 2 – 38х – 24 = (х + 1) (х 3 – х 2 – 14х – 24)
Определим корни многочлена третьей степени х 3 – х 2 – 14х – 24
р: ± 1; ± 2; ± 3; ± 4; ± 6; ± 8; ± 12; ± 24
q : ± 1
f (1) = – 1 + 1 + 14 – 24 ≠ 0
f (–1) = 1 + 1 – 14 – 24 ≠ 0
f (2) = 8 + 4 – 28 – 24 ≠ 0
f (–2) = – 8 + 4 + 28 – 24 ≠ 0
Значит, второй корень многочлена х = – 2
1
1
– 14
– 24
– 2
1
– 1
– 12
0
х 4 – 2х 3 – 13х 2 – 38х – 24 = (х + 1) (х 2 + 2) (х 2 – х – 12) =
= (х + 1) (х + 2) (х + 3) (х – 4)
Ответ: – 3; – 2; – 1; 4
Применение схемы Горнера при решении уравнений с параметром.
Найдите наибольшее целое значение параметра а, при котором уравнение f (х) = 0 имеет три различных корня, один из которых х 0 .
а) f (х) = х 3 + 8х 2 + ах + b , х 0 = – 3
Так один из корней х 0 = – 3 , то по схеме Горнера имеем:
1
8
а
b
– 3
1
5
– 15 + а
0
0 = – 3 (– 15 + а) + b
0 = 45 – 3а + b
b = 3а – 45
х 3 + 8х 2 + ах + b = (х + 3) (х 2 + 5х + (а – 15))
Уравнение х 2 + 5х + (а – 15) = 0 D > 0
а = 1; b = 5; с = (а – 15),
D = b 2 – 4ac = 25 – 4 (a – 15) = 25 + 60 – 4a > 0,
85 – 4a > 0;
4a < 85;
a < 21
Наибольшее целое значение параметра а, при котором уравнение
f (х) = 0 имеет три корня, а = 21
Ответ: 21.
б) f(x) = x 3 – 2x 2 + ax + b, x 0 = – 1
Так как один из корней х 0= – 1, то по схеме Горнера имеем
1
– 2
a
b
– 1
1
– 3
3 + а
0
x 3 – 2x 2 + ax + b = (x + 1) (x 2 – 3x + (3 + a))
Уравнение x 2 – 3 x + (3 + a ) = 0 должно иметь два корня. Это выполняется только в том случае, когда D > 0
a = 1; b = – 3; c = (3 + a),
D = b 2 – 4ac = 9 – 4 (3 + a) = 9 – 12 – 4a = – 3 – 4a > 0,
– 3 – 4a > 0;
– 4a < 3;
a < –
Наибольшее значение а = – 1 а = 40
Ответ: а = 40
г) f(x) = x 3 – 11x 2 + ax + b, x 0 = 4
Так как один из корней х 0 = 4 , то по схеме Горнера имеем
1
– 11
a
b
4
1
– 7
– 28 + а
0
x 3 – 11x 2 + ax + b = (x – 4) (x 2 – 7x + (a – 28))
f (x ) = 0, если х = 4 или x 2 – 7 x + (a – 28) = 0
D > 0, то есть
D = b 2 – 4ac = 49 – 4 (a – 28) = 49 + 112 – 4a = 161 – 4a >0,
161 – 4a > 0;
– 4a < – 161; f x 0 = – 5 , то по схеме Горнера имеем
1
13
a
b
– 5
1
8
– 40 + а
0
x 3 + 13x 2 + ax + b = (x +5) (x 2 +8x + (a – 40))
f (x ) = 0, если х = – 5 или x 2 + 8 x + (a – 40) = 0
Уравнение имеет два корня, если D > 0
D = b 2 – 4ac = 64 – 4 (a – 40) = 64 + 1 60 – 4a = 224 – 4a >0,
224 – 4a >0;
a < 56
Уравнение f (x ) имеет три корня при наибольшем значении а = 55
Ответ: а = 55
ж) f (x ) = x 3 + 19 x 2 + ax + b , x 0 = – 6
Так как один из корней – 6 , то по схеме Горнера имеем
1
19
a
b
– 6
1
13
а – 78
0
x 3 + 19x 2 + ax + b = (x +6) (x 2 + 13x + (a – 78)) = 0
f (x ) = 0, если х = – 6 или x 2 + 13 x + (a – 78) = 0
Второе уравнение имеет два корня, если
Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. В математике довольно часто встречаются уравнения высших степеней с целыми коэффициентами. Чтобы решить данного рода уравнения необходимо:
Определить рациональные корни уравнения;
Разложить на множители многочлен, который находится в левой части уравнения;
Найти корни уравнения.
Допустим, нам дано уравнение следующего вида:
Найдем все действительные его корни. Умножим левую и правую части уравнения на \
Выполним замену переменных \
Таким образом, у нас получилось приведенное уравнение четвертой степени, которое решается по стандартному алгоритму: проверяем делители, проводим деление и в результате выясняем, что уравнение имеет два действительных корня \ и два комплексных. Получим следующий ответ нашего уравнения четвертой степени:
Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://сайт. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.
