Анализ нелинейных систем автоматического управления. Точные методы исследования нелинейных сау Статистические методы исследования нелинейных систем

Предмет:

"Теория автоматического управления"

Тема:

"Методы исследования нелинейных систем"

1. Метод дифференциальных уравнений

Дифференциальное уравнение замкнутой нелинейной системы n-го порядка (рис. 1) можно преобразовать к системе n-дифференциальных уравнений первого порядка в виде:

где: – переменные, характеризующие поведение системы (одна из них может быть регулируемая величина); – нелинейные функции; u – задающее воздействие.

Обычно, эти уравнения записываются в конечных разностях:

где – начальные условия.

Если отклонения не большие, то эту систему можно решать, как систему алгебраических уравнений. Решение можно представить графически.

2. Метод фазового пространства

Рассмотрим случай, когда внешнее воздействие равно нулю (U = 0).

Движение системы определяется изменением ее координат - в функции времени. Значения в любой момент времени характеризует состояние (фазу) системы и определяет координаты системы имеющей n – осей и могут быть представлены как координаты некоторой (изображающей) точки М (рис. 2).

Фазовым пространством называется пространство координат системы.

С изменением времени t точка М движется по траектории, называемой фазовой траекторией . Если менять начальные условия получим семейство фазовых траекторий, называемых фазовым портретом . Фазовый портрет определяет характер переходного процесса в нелинейной системе. Фазовый портрет имеет особые точки, к которым стремятся или от которых уходят фазовые траектории системы (их может быть несколько).

Фазовый портрет может содержать замкнутые фазовые траектории, которые называются предельными циклами. Предельные циклы характеризуют автоколебания в системе. Фазовые траектории нигде не пересекаются, кроме особых точек, характеризующих равновесные состояния системы. Предельные циклы и состояния равновесия могут быть устойчивыми или не устойчивыми.

Фазовый портрет полностью характеризует нелинейную систему. Характерной особенностью нелинейных систем является наличие различных типов движений, нескольких состояний равновесия, наличие предельных циклов.

Метод фазового пространства является фундаментальным методом исследования нелинейных систем. Исследовать нелинейных систем на фазовой плоскости гораздо проще и удобнее, чем с помощью построения графиков переходных процессов во временной области.

Геометрические построения в пространстве менее наглядны, чем построения на плоскости, когда система имеет второй порядок, при этом применяется метод фазовой плоскости.

Применение метода фазовой плоскости для линейных систем

Проанализируем связь между характером переходного процесса и кривыми фазовых траекторий. Фазовые траектории могут быть получены либо путем интегрирования уравнения фазовой траектории, либо путем решения исходного дифференциального уравнения 2-го порядка.

Пусть задана система (рис. 3).


Рассмотрим свободное движение системы. Приэтом: U(t)=0, e(t)=– x(t)


В общем виде дифференциальное уравнение имеет вид

где (1)

Это однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка его характеристическое уравнение равно

. (2)

Корни характеристического уравнения определяются из соотношений

(3)

Представим дифференциальное уравнение 2-го порядка в виде системы

уравнений 1-го порядка:

(4)

где скорость изменения регулируемой величины.

В рассматриваемой линейной системе переменные x и y представляют собой фазовые координаты. Фазовый портрет строим в пространстве координат x и y, т.е. на фазовой плоскости.

Если исключим время из уравнения (1), то получим уравнение интегральных кривых или фазовых траекторий.


. (5)

Это уравнение с разделяющимися переменными

Рассмотрим несколько случаев

1. Пусть корни характеристического уравнения (3) имеют вид

(т.е. ). (7)

При этом переходной процесс описывается уравнениями

x = A sin (wt+j), (8)

y = Aw cos (wt+j),

т.е. представляет собой незатухающие колебания с постоянной амплитудой А и начальной фазой – j.

На фазовой плоскости (рис. 4) эти уравнения представляют собой параметрические уравнения эллипса с полуосями А и wA (где A – постоянная интегрирования).

Если обозначить


Уравнение эллипса можно получить решением уравнения фазовых траекторий

(9)

Состояние равновесия определяется из условия

,

при этом x 0 = y 0 = 0.

Особая точка называется "центр" и соответствует устойчивому равновесию, так как фазовые траектории от нее не удаляются.

2. Пусть корни характеристического уравнения (3) имеют вид

При этом переходной процесс описывается уравнениями:

Из уравнения фазовых траекторий получим уравнение


Это уравнение семейства гипербол при изменении A (рис 5).


Особая точка называется "седло". Уравнения асимптот (сепаратрис) при А = 0 имеют вид:

3. Пусть корни характеристического уравнения (3) имеют вид

Фазовая траектория имеет вид сворачивающейся спирали (рис. 6), а точка равновесия называется "устойчивый фокус".

4. Пусть корни характеристического уравнения (3) имеют вид


(12)

Переходный процесс представляет собой расходящиеся колебания, фазовая траектория – разворачивающаяся спираль. Особая точка называется "неустойчивый фокус" (рис. 7).

5. Пусть корни характеристического уравнения (3) имеют вид

(13)

Переходный процесс имеет апериодический характер. Особая точка называется "устойчивый узел" (рис. 8).


6. Пусть корни характеристического уравнения (3) имеют вид

(14)

Особая точка называется "неустойчивый узел" (рис. 9).

4. Методы построения фазовых портретов

Для построения фазовых портретов можно использовать различные методы: метод дифференциальных уравнений, метод изоклин, и др.

Метод дифференциальных уравнений . Сущность метода заключается в том, что по дифференциальным уравнениям отдельных участков нелинейного элемента строят соответствующие фазовые портреты на плоскости.

Метод изоклин – это метод линий постоянного наклона.

Пусть даны уравнения нелинейной системы:

(15)


где: – произвольные функции.

Чтобы получить фазовый портрет исключим время:

. (16)

Пусть , при этом – это уравнение линии в плоскости (x 0 y). Каждому значению константы с соответствует некоторая линия, обладающая следующим свойством: в каждой точке линии , т.е. если фазовая траектория пересекает изоклину, то она имеет постоянный наклон рис. 10.


Если провести достаточное число таких линий с соответствующими наклонами, то можно построить фазовый портрет системы. При этом точность зависит от числа изоклин. Направление движения определяется по правилу: если производная , x >0, то движение такое, что x возрастает.

5. Построение фазового портрета нелинейной системы

Рассмотрим релейную следящую систему, схема которой приведена на рис. 11.



x 1 НЭ У U пит Д ТГ P U 0




Если a¹b на вход НЭ с релейной характеристикой (рис. 12) подается сигнал При этом: b – угол поворота задающей оси; a – угол поворота отрабатывающего потенциометра.

z

– a 2 – a 1

Вследствие этого на двигатель подается напряжение ±, двигатель вращается в определенном направлении в соответствии с полярностью подаваемого напряжения до тех пор, пока оно не станет равным нулю.

Для улучшения качества переходного процесса в систему может быть включена отрицательная обратная связь по скорости двигателя с помощью тахогенератора (ТГ).

Запишем уравнения элементов системы. Для двигателя постоянного тока с независимым возбуждением

(17)

Так как поток возбуждения = const, то . Допустим, момент нагрузки мал, при этом =0.

Передаточную функцию для якорной цепи K 1 (p) можно получить из ее дифференциального уравнения

(18)

Для редуктора и угла поворота вала двигателя

(19)

Для тахогенератора

. (20)


На основании функциональной схемы и полученных передаточных функций элементов системы составляем структурную схему рис. 13


Для построения фазового портрета необходимо записать систему дифференциальных уравнений.

Рассмотрим свободное движение системы (b=0) при этом x = a.

Дифференциальное уравнение нелинейной системы имеет вид

(21)

Представим уравнение в виде системы уравнений:

(22)

Построим фазовый портрет. Для простоты построения фазового портрета делаем некоторые упрощения:

1) Пусть обратная связь по скорости – отсутствует (К = 0).

2) Характеристика нелинейного элемента однозначна (рис. 14).

При этом:

(23)

С учетом принятых допущений система уравнений упрощается.

(24)

Построим характеристику для каждой зоны.

Пусть – a £ x £ a, ¦(x) = 0.

При этом исходная система имеет вид:

(25)

Решение этого уравнения имеет вид , т.е. наклон фазовых траекторий всюду постоянный (отрицательный).

Определим равновесное состояние системы из условия:


(26)

Это условие выполняется при y = 0, т.е. точка вырождается в прямую линию y = 0 на интервале [– а, а]. Фазовые траектории на участке – а< x < a представляют собой прямые с коэффициентом наклона -1/Т 1 при различных значениях начальных условий.

На прямых линиях проставляем стрелки таким образом, чтобы конечное движение стремилось к началу координат.

Пусть х > a, . При этом исходная система нелинейных уравнений имеет вид

(27)

где c i - семейство изоклин, которое представляет собой прямые параллельные оси х, т.е. , где определяется из выражения для

. (28)

Таким образом

. (29)

Задаваясь значениями , строим семейство изоклин. Определяем углы пересечения изоклин фазовыми траекториями.

Так как . Например, если , то a = 90°.

Пусть х < – a, . Построение выполняем аналогично, так как знак изменился, то будут другие углы пересечений изоклин фазовой траекторией. Фазовый портрет системы приведен на рис. 15.


Рис. 14 Рис. 15

Снимем упрощение К = 0, т.е. рассмотрим влияние отрицательной обратной связи по скорости двигателя на характер фазовой траектории.

При этом уравнения имеют вид:

(30)

Пусть , при этом переключение будет происходить при условии (а не условии х = а), это уравнение линии (рис. 16)


При этом количество перерегулирований уменьшается; можно подобрать такой наклон, при котором нет переколебаний.

Рассмотрим фазовый портрет без ограничений. В системе без ограничений фазовый портрет можно представить на трехлистной поверхности с наклонными гранями (рис. 17.) При этом лист 2 соответствует зоне нечувствительности z=0, лист 1 соответствует отрицательным значениям z, а лист 3 положительным. Вследствие гистерезиса имеет место частичное наложение листов.

Рис. 16 Рис. 17

Исследуем систему. Исследуем влияние отрицательной обратной связи по скорости двигателя (т.е. влияние величины – К). Пусть значение К увеличивается, при этом наклон прямых уменьшается, и может получиться, что срез будет более пологим чем наклон характеристики в средней части. Это приводит к частым переключениям. Такой режим называется скользящим. Если зона очень узкая, то движение как бы соскальзывает к установившемуся режиму (рис. 18а).

Если изменить знак обратной связи с отрицательной связи на положительную связь, то при этом изменится наклон линий переключения, и количество колебаний будет увеличиваться, система будет "раскачиваться". Система работает, как генератор и может появиться либо замкнутый цикл – автоколебания, либо расходящийся переходный процесс (рис. 18б).


Достоинства метода: простота и наглядность для систем 2-го порядка; пригодность для любого типа нелинейных элементов.

Недостатки: метод громоздкий для систем выше 2-го порядка, поэтому при n >2 не применяется.

Рассмотрим несколько примеров построения фазовых портретов нелинейных систем управления

Пример 1. Пусть задана система, состоящая из линейной части и нелинейного элемента (усилитель с ограничением по модулю) (рис. 19). Это кусочно-линейная система, так как на отдельных участках она ведет себя как линейная (в области) – а, +а[). Допустим в области (] – а, +а[) коэффициент усиления большой и система неустойчива а фазовый портрет характеризуется особой точкой "неустойчивый фокус". За пределами области коэффициент усиления мал, допустим, что при этом система устойчива и характеризуется особой точкой – "устойчивый фокус".

При больших отклонениях x > |a| общий коэффициент усиления системы мал, система устойчива, процесс затухает.

При малых отклонениях общий коэффициент усиления системы большой – процесс расходится к замкнутой траектории, которая характеризует наличие устойчивых автоколебаний (рис. 20).

В этой системе три типа движений: автоколебания; сходящиеся колебания; расходящиеся колебания



Пример 2. Пусть задана система с характеристикой нелинейного звена типа "зона нечувствительности" (рис. 21). Необходимо построить фазовый

портрет данной системы, определить наличие предельных циклов и проанализировать их устойчивость.

Построим фазовый портрет

1) При – a < x < +a f(x) = 0, а система уравнений имеет вид



Фазовый портрет в этой области представляет семейство прямых с коэффициентом к = -1, а состояние равновесия устойчиво по Ляпунову и представляет отрезок оси y = 0 на интервале – a

2) При x > +a f(x) = x – a, а система уравнений имеет вид

и угол пересечения фазовой траекторией изоклины по формуле a = arctg c, результаты приведены в таблицах 1 и 2.

Таблица 1

Таблица 2

3) При x < – a f(x) = x + a, а система уравнений имеет вид

Пример 4. Для заданной системы (рис. 26) построить примерный фазовый портрет.



Исходную схему можно представить в виде (рис. 27).

Построим фазовый портрет.

1) При –1 < x < +1 f(x) = x, а система уравнений имеет вид


Для каждого с i определимугловой коэффициент наклона изоклины – к по формуле

2) При x > +1 f(x) = 1, а система уравнений имеет вид


Для каждого с i определимугловой коэффициент наклона изоклины – к по формуле и угол пересечения фазовой траекторией изоклины по формуле a = arctg c.

3) При x < -1 f(x) = -1.

Левая часть фазового портрета строится аналогично правой.

Литература

1. Атабеков Г.И., Тимофеев А.Б., Купалян С.Д., Хухриков С.С. Теоретические основы электротехники (ТОЭ). Нелинейные электрические цепи. Электромагнитное поле. 5-е изд. Изд-во: ЛАНЬ, 2005. – 432 с.

2. Гаврилов Нелинейные цепи в программах схемотехнического моделирования. Изд-во: СОЛОН-ПРЕСС, 2002. – 368 с.

3. Дорф Р., Бишоп Р. Автоматика. Современные системы управления. 2002 г. – 832 с.

4. Теория автоматического управления. Учеб. для вузов по спец. "Автоматика и телемеханика". В 2-х ч./ Н.А. Бабаков, А.А. Воронов и др.: Под ред. А.А. Воронова. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Высш. шк., 1986. – 367 с., ил.

5. Харазов В.Г. Интегрированные системы управления технологическими процессами: Справочник. Издательство: ПРОФЕССИЯ, ИЗДАТЕЛЬСТВО, 2009. – 550 с.

Наличие нелинейностей в системах управления приводит к описанию такой системы нелинейными дифференциальными уравнениями, часто достаточно высоких порядков. Как известно, большинство групп нелинейных уравнений не решается в общем виде, и можно лишь говорить о частных случаях решения, поэтому при исследовании нелинейных систем большую роль приобретают различные приближенные методы.

Посредством приближенных методов исследования нелинейных систем нельзя, как правило, получить достаточно полное представление о всех динамических свойствах системы. Однако с их помощью можно ответить на ряд отдельных существенных вопросов, таких как вопрос устойчивости, наличия автоколебаний, характера каких-либо частных режимов и т.п.

В настоящее время существует большое число различных аналитических и графо-аналитических методов исследования нелинейных систем, среди которых можно выделить методы фазовой плоскости, припасовывания, точечных преобразований, гармонической линеаризации, прямой метод Ляпунова, частотные методы исследования абсолютной устойчивости Попова, методы исследования нелинейных систем на электронных моделях и ЭВМ.

Краткая характеристика некоторых из перечисленных методов.

Метод фазовой плоскости является точным, но имеет ограниченное при­менение, так как практически неприменим для систем регулирования, опи­сание которых нельзя свести к управлениям второго порядка.

Метод гармонической линеаризации относится к приближенным методам, он не имеет ограничений по порядку дифференциальных уравнений. При применении этого метода предполагается, что на выходе системы имеются гармонические колебания, а линейная часть системы регулирования является фильтром высоких частот. В случае слабой филь­трации сигналов линейной частью системы при использовании метода гармо­нической линеаризации необходимо учитывать высшие гармоники. При этом усложняется анализ устойчивости и качества процессов регули­рования нелинейных систем.

Второй метод Ляпунова позволяет получить лишь достаточ­ные условия устойчивости. И если на его основе определена неустойчивость системы регулирования, то в ряде случаев для проверки правильности полученного результата следует заменить функцию Ляпунова на другую и еще раз выполнить анализ устойчивости. Кроме того, не существует общих методов определения функции Ляпунова, что затрудняет практи­ческое применение этого метода.

Критерий абсолютной устойчивости позволяет анализировать устой­чивость нелинейных систем с помощью частотных характеристик, что является большим преимуществом данного метода, так как объе­диняет математический аппарат линейных и нелинейных систем в единое целое. К недостаткам этого метода следует отнести усложнение расчетов при анализе устойчивости систем с неустойчивой линейной частью. Поэтому для получения правильного результата по устойчивости нелинейных систем приходится пользоваться различными методами. И только совпадение раз­личных результатов позволит избежать ошибочных суждений об устойчи­вости или неустойчивости проектируемой системы автоматического регули­рования.

Все инженерные методы исследования нелинейных систем разделяются на две основные группы: точные и приближенные. К точным методам относится метод А.М.Ляпунова, метод фазовой плоскости, метод точечных преобразований, частотный метод В.М.Попова. Приближенные методы основаны на линеаризации нелинейных уравнений системы с применением гармонической или статистической линеаризации. На практике используют комбинацию различных методов. Следует заметить, что в обозримом будущем имеется необходимость дальнейшего развития теории и практики нелинейных систем.

Рассмотрим следующие методы анализа нелинейных систем:

1) Метод фазовой плоскости. Применяется для исследования нелинейных систем, описываемых дифференциальными уравнениями первого и второго порядков. Состоит в построении и исследовании фазового портрета системы в координатах исследуемой величины и ее производной.

Рассмотрим случай, когда внешнее воздействие равно нулю (U = 0). Движение системы определяется изменением ее координат - X i в функции времени. Значения X i в любой момент времени характеризует состояние (фазу) системы и определяет координаты системы имеющей n – осей и могут быть представлены как координаты некоторой (изображающей) точки М (рис. 10).

Рисунок 10

Фазовым пространством называется пространство координат системы.

С изменением времени t точка М движется по траектории, называемой фазовой траекторией. Если менять начальные условия получим семейство фазовых траекторий, называемых фазовым портретом. Фазовый портрет определяет характер переходного процесса в нелинейной системе. Фазовый портрет имеет особые точки, к которым стремятся или от которых уходят фазовые траектории системы (их может быть несколько).

Фазовый портрет может содержать замкнутые фазовые траектории, которые называются предельными циклами. Предельные циклы характеризуют автоколебания в системе. Фазовые траектории нигде не пересекаются, кроме особых точек, характеризующих равновесные состояния системы. Предельные циклы и состояния равновесия могут быть устойчивыми или не устойчивыми.

Фазовый портрет полностью характеризует нелинейную систему. Характерной особенностью нелинейных систем является наличие различных типов движений, нескольких состояний равновесия, наличие предельных циклов.

Пример

Изобразить фазовые траектории для нелинейной системы с тремя различными нелинейностями - двухпозиционное реле, трехпозиционное реле с зоной нечувствительности (±0,2) и двухпозиционное реле с гистерезисом (±0,1), если линейная часть имеет передаточную функцию

Решение

В соответствии с заданием модель нелинейной системы можно представить в виде рис.11.

Примем для всех нелинейностей величину сигнала на выходе реле ±2.

Рисунок 11 - Модель нелинейной САУ

Тогда уравнения состояния запишутся в виде

Разделив второе из уравнений на первое, получим уравнение фазовой траектории

В зависимости от того, с какой стороны от линии переключения реле находится изображающая точка, решения дифференциального уравнения будут следующие:

справа от линии переключения при x1 > 0 x 1 = 4 ln |x 2 + 10| - 0,4x 2 + c 1 ;

cлева от линии переключения при x1 < 0 x 1 = 4 ln |x 2 - 10| - 0,4x 2 + c 2 ;

для трехпозиционного реле движение изображающей точки в пределах зоны нечувствительности -0,2

где с 1 , с 2 и с 3 - постоянные интегрирования, зависящие от начальных условий.

На рис. 9 изображены фазовые траектории нелинейной САУ с различными нелинейными элементами. Припасовывание или сшивание участков фазовых траекторий происходит по линиям переключений.

Рисунок 12 - Фазовые траектории релейных систем

Анализируя фазовые траектории, можно сделать следующие выводы:

1. при взятых начальных условиях все системы устойчивы. Причем системы с двухпозиционными реле устойчивы "в большом";

2. у систем с двухпозиционными реле наблюдаются устойчивые колебания. Абсцисса предельного цикла определяет амплитуду колебаний А о, а частота может быть определена из ординаты предельного цикла А о ω о;

3. система с трехпозиционным реле с зоной нечувствительности имеет "особый отрезок". Система может после прохождения переходного процесса занять любое значение внутри зоны нечувствительности, как показано на рис.9.

Таким образом, метод фазового пространства является фундаментальным методом исследования нелинейных систем. Исследовать нелинейных систем на фазовой плоскости гораздо проще и удобнее, чем с помощью построения графиков переходных процессов во временной области.

Геометрические построения в пространстве менее наглядны, чем построения на плоскости, когда система имеет второй порядок, при этом применяется метод фазовой плоскости.

2) Метод гармонической линеаризации.

Идея метода гармонической линеаризации принадлежит Н.М. Крылову и Н.Н. Боголюбову и базируется на замене нелинейного элемента системы линейным звеном, параметры которого определяются при гармоническом входном воздействии из условия равенства амплитуд первых гармоник на выходе нелинейного элемента и эквивалентного ему линейного звена. Метод является приближенным и может быть использован только в случае, когда линейная часть системы является фильтром низких частот, т.е. отфильтровывает все возникающие на выходе нелинейного элемента гармонические составляющие, кроме первой гармоники. При этом линейная часть может быть описана дифференциальным уравнением любого порядка, а нелинейный элемент может быть как однозначным, так и многозначным. Метод может быть эффективен для расчета параметров собственных колебаний в системе, используется также для анализа точности при гармоническом задающем воздействии.

В основе метода гармонической линеаризации лежит предположение, что на вход нелинейного элемента подается гармоническое воздействие с частотой ω и амплитудой А, т.е. x = А sinωt. В предположении, что линейная часть является фильтром низких частот, спектр выходного сигнала линейной части ограничивается только первой гармоникой, определяемой рядом Фурье (в этом и заключается приближенность метода, т.к. высшие гармоники выбрасываются из рассмотрения). Тогда связь между первой гармоникой выходного сигнала и входным гармоническим воздействием нелинейного элемента представляется в виде передаточной функции:

Уравнение (1.6) называется уравнением гармонической линеаризации, а коэффициенты q и q" - коэффициентами гармонической линеаризации, зависящие от амплитуды А и частоты ω входного воздействия. Следует заметить. что для статических однозначных коэффициент q"(А)=0. Подвергнув уравнение (1.6) преобразованию по Лапласу при нулевых начальных условиях с последующей заменой оператора p на jω (p = jω), получим эквивалентный комплексный коэффициент передачи нелинейного элемента

W нэ (jω,A) = q + jq" (1.7)

После того, как проведена гармоническая линеаризация, для анализа и синтеза нелинейных САУ возможно применение всех методов, применяемых для исследования линейных систем, в том числе и использование различных критериев устойчивости. При исследовании нелинейных систем на основе метода гармонической линеаризации в первую очередь решают вопрос о существовании и устойчивости периодических (автоколебательных) режимов. Если периодический режим устойчив, то в системе существуют автоколебания с частотой ω 0 и амплитудой А 0 . Рассмотрим нелинейную систему, включающую в себя линейную часть с передаточной функцией

и нелинейный элемент с эквивалентным комплексным коэффициентом передачи (1.7). Расчетная структурная схема нелинейной системы приобретает вид рис.13.

Рисунок 13 - Структурная схема нелинейной САУ

Для оценки возможности возникновения автоколебаний в нелинейной системе методом гармонической линеаризации необходимо найти условия границы устойчивости, как это делалось при анализе устойчивости линейных систем. Если линейная часть описывается передаточной функцией (1.8), а нелинейный элемент (1.7), то характеристическое уравнение замкнутой системы будет иметь вид:

d(p) + k(p)(q(ω,A) + q"(ω,A)) = 0 (1.10)

На основании критерия устойчивости Михайлова границей устойчивости будет прохождение годографа Михайлова через начало координат. Из выражений (1.10) можно найти зависимость амплитуды и частоты автоколебаний от параметров системы, например, от коэффициента передачи k линейной части системы. Для этого необходимо в уравнениях (1.10) коэффициент передачи k считать переменной величиной, т.е. это уравнение записать в виде:

d(jω) + K(jω)(q(ω,A) + q"(ω,A)) = Re(ω 0 ,A 0 ,K) +Jm(ω 0 ,A 0 ,k) = 0 (1.11)

где ω o и A o - возможные частота и амплитуда автоколебаний.

Тогда, приравнивая к нулю действительную и мнимую части уравнения (1.11)

можно построить границу устойчивости (D-разбиение) по интересующему нас параметру k (рис.11).

Рисунок 14 - D-разбиение плоскости параметра К нелинейной САУ

Анализируя рис.14 можно заключить, что в области 1 автоколебания невозможны и критический коэффициент равен к кр, а в области 2 колебания сходятся к величине амплитуды A o и частоты ω o (автоколебательный режим) в зависимости от начальных условий. По графику рис.11 можно выбрать коэффициент передачи k, при котором амплитуда и частота возможных автоколебаний имеет допустимые значения или вообще отсутствует.

Чаще на практике используется графоаналитический метод определения возможных амплитуд и частот автоколебаний в нелинейных системах. В соответствии с критерием устойчивости Найквиста незатухающие колебания в линейной системе возникают в том случае, когда амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы проходит через точку с координатами . Данное условие является также условием существования автоколебаний в гармонически линеаризованной нелинейной системе (рис.11), т.е.

1 + W лч (jω)*W нэ (jω,A)=0 (1.13)

или W лч (jω)=-1/W нэ (jω,A). (1.14)

Решение уравнения (1.14) относительно частоты и амплитуды автоколебаний можно получить графически, как точку пересечения годографа частотной характеристики линейной части системы Wлч(jω) и годографа обратной характеристики нелинейной части -1/Wнэ(jω,А) (рис. 15). Если эти годографы не пересекаются, то режим автоколебаний в исследуемой системе не существует.

Рисунок 15- Годографы линейной и нелинейной частей системы

Для устойчивости автоколебательного режима с частотой ω 0 и амплитудой А 0 требуется, чтобы точка на годографе нелинейной части М, соответствующая увеличенной амплитуде А 0 +ΔА по сравнению со значением в точке пересечения годографов, не охватывалась годографом частотной характеристики линейной части системы, в противном случае автоколебания неустойчивые. На рис. 15 дан пример расположения годографов для случая, когда в нелинейной системе существуют устойчивые автоколебания. Параметры автоколебаний на входе нелинейного элемента определяются в точке пересечения годографов: частота из W лч (jω), а амплитуда из W нэ -1 (A). Исследование нелинейных систем возможно по логарифмическим частотным характеристикам (метод шаблонов). Метод гармонического баланса позволяет вести синтез нелинейных САУ на обеспечение требуемых показателей качества меняя параметры или линейной части, или нелинейного элемента.

Пример

Определить возможную частоту автоколебаний при введении в САУ, имеющей ЛЧХ вида (рисунок 16), однозначной нелинейности в виде двухпозиционного реле.

Рисунок 16 - ЛЧХ линейной части

Решение Известно, что характеристика - 1/W нэ (jω,А) однозначного нелинейного элемента (двухпозиционного реле) полностью располагается на отрицательной действительной полуоси, поэтому а.ф.х. линейной части W лч (jω) может ее пересечь только при угле -180°. Частота возможных автоколебаний определяется по W лч (jω), а л.ф.х. (рис.7.8) показывает, что фазовый угол сдвига -180° происходит на частоте ω = 300 рад/с. Это и есть возможная частота автоколебаний при введении в САУ однозначной нелинейности.

Метод гармонической линеаризации используется для анализа переходных режимов работы, оценки устойчивости системы, возможности возникновения периодических колебаний.

3) Метод статистической линеаризации .

Метод основан на замене нелинейного преобразования процессов статистически эквивалентными им линейным преобразованиями. Нелинейный элемент заменяется линейным эквивалентом (рисунок 17). В результате замены система линеаризуется, что позволяет использовать методы исследования линейных систем.

Замена нелинейного преобразования линейным является приближенной и справедливой лишь в некоторых отношениях. Поэтому не существует однозначной эквивалентности при использовании различных критериев.

В частности, если нелинейность определяется безинерционной зависимостью вида

используется два критерия эквивалентности.

Рисунок 17

Первый критерий предполагает равенство на выходе нелинейного элемента и его линейного эквивалента математических ожиданий и дисперсий процессов.

Второй критерий – минимум среднего квадрата разности процессов на выходе нелинейного элемента и его линейного эквивалента.

Процесс на входе и выходе нелинейного элемента представим в виде:

где ─ математическое ожидание процесса на выходе НЭ;

─ центрированная случайная составляющая.

Процесс на выходе линейного эквивалента представляется в следующем виде:

где ─ коэффициент передачи линейного эквивалента по математическому ожиданию; ─ коэффициент передачи по центрированной случайной составляющей.

Воспользуемся первым критерием эквивалентности:

Из этих уравнений находим

где ─ плотность вероятности процесса на входе нелинейного элемента.

Коэффициент передачи линейного эквивалента по центрированной случайной составляющей (по первому критерию).

По второму критерию эквивалентности:

Для определения и , при которых выполняется условие эквивалентности, найдем частные производные и приравняем их нулю:

При расчете этих коэффициентов полагают, что распределение на входе нормальное:

Определив величины

для типовых нелинейностей, заменяют последние коэффициентами передачи линейного эквивалента и анализируют систему линейными методами.

Для основных типов нелинейностей и нормальном распределении входного процесса коэффициенты рассчитаны и представлены в виде табличных значений. В частности, для характеристики релейного типа (рис.19)

Рисунок 19 - Характеристика релейного типа:

коэффициенты равны.

Рассмотрим химико-технологический объект, на вход которого поступает случайный сигнал и (/), а на выходе наблюдается случайный процесс у (/). При использовании корреляционных методов для идентификации линейных объектов с постоянными параметрами обычно полагают (или специально так подбирают тестовый сигнал), что случайные функции и (t) и у (t ) являются стационарными и стациопарно связанными в широком смысле, т. е. их математические ожидания постоянны, а авто- и взаимнокорреляционные функции являются функциями не двух, а одного аргумента, равного их разности.

При идентификации нелинейных динамических систем условия нормальности плотностей вероятности функций и (t) и у (t) и их совместной плотности вероятности, как правило, не выполняются, т. е. характеристики объекта определяются в условиях, когда совместные плотности вероятности функций и (t) и у (/) не гауссовы.

Следовательно, условная плотность вероятности функции у (t) относительно и (t) будет также не гауссовой. Регрессия выходной случайной величины относительно входной случайной функции при заданных значениях аргументов в общем случае нелинейна, а корреляция функций и (0 и у (t) гетероскедастична.

Таким образом, для идентификации нелинейных объектов уже недостаточно корреляционных методов, оперирующих математическими ожиданиями и корреляционными функциями случайных процессов. Ошибка в решении задачи идентификации нелинейного объекта корреляционными методами, используемыми для линейных систем, тем больше, чем сильнее регрессия функций у (t) относительно и (t) отличается от линейной и чем больше неравномерность математического ожидания условных дисперсий.

Задача идентификации нелинейных объектов, функционирующих в условиях случайных возмущений, представляет весьма сложную математическую проблему, которая в настоящее время находится в стадии разработки и еще далека до своего завершения. Тем не менее уже сейчас можно назвать ряд методов, которые хотя и нельзя считать исчерпывающими, однако дающие достаточно хорошее приближенное решение задачи идентификации нелинейных объектов статистическими методами. К таким методам можно отнести: 1) методы, основанные на использовании дисперсионной и взаимодисперсионной функций случайных процессов; 2) метод линеаризации нелинейной регрессии на участках гомоскедастич- ности математического ожидания условной дисперсии функции у (t) относительно и (t) 3) винеровский подход к идентификации нелинейных систем; 4) метод идентификации нелинейных систем, основанный на применении аппарата условных марковских процессов.

Кратко рассмотрим каждый из перечисленных методов.

1. Если зависимость между значениями случайных функций и (0 и у (t) нелинейная, то коэффициент корреляции между значениями случайной функции уже не может служить достаточно хорошим критерием для измерения тесноты связи между ними. Поэтому для характеристики связи между и и у используются

дисперсионные отношения , которые определяются через дисперсионные функции (2, 3].

Взаимная дисперсионная функция 0 yU (*, т) для действительных случайных функций у (t) и и (t) и автодисперсионная (дисперсионная) функция G„ K (*, т) для случайного процесса и (т) определяются соотношениями

где M { } - символ математического ожидания; M .

На основе определенных выше величин п уи, т| ук и R можно построить специальный TV-критерий для проверки гипотезы о линейности зависимости между сигналами у и и:

где п - число опытов; к - число интервалов в корреляционной таблице. Проверим с помощью TV-критерия гипотезу о линейности связи между y t и и т для объекта, рассмотренного в §6.4. Функция

N (т), построенная по входной и выходной реализациям системы, изображена на рис. 8.2 . В данном случае задача идентификации сводится к поиску неизвестных параметров объекта, которыми служат коэффициенты оператора в гильбертовом пространстве. Сигнал на входе системы раскладывается в^ряд подфункциям Лагерра:

с коэффициентами


Рис. 8.3.


Рис. 8.4.

Здесь п -я функция Лагерра g n (t) строится в виде произведения полинома Лагерра l n (t) на экспоненту:

Заметим, что изображение по Лапласу полиномов Лагерра па основании (8.19) имеет вид

Отсюда видно, что необходимые коэффициенты Лагерра можно получить, пропуская сигнал и (t) через цепочку линейных динамических звеньев (см. рис. 8.3).

Оператор нелинейной системы представляется в виде разложения по полиномам Эрмнта:

которые ортогональны на действительной оси - оо t . Из полиномов Эрмита строятся функции Эрмита:

с помощью которых оператор перехода от коэффициентов Лагерра входного сигнала к выходному сигналу записывается в виде


Соотношение (8.20) справедливо для любого нелинейного объекта и может быть положено в основу его идентификации. Методика идентификации значительно упрощается, если на вход подавать специальный сигнал в виде гауссового белого шума. В этом случае функции Лагерра представляют собой некоррелированные гауссовы случайные процессы с равными дисперсиями. При этом определение коэффициентов... к сводится к нахождению взаимнокорреляционной функции выхода системы и полиномов Эрмита:

Определение коэффициентов b { j ... к завершает решение задачи идентификации. Общая схема вычислений показана на рис. 8.4.

При решении задач идентификации химико-технологических объектов рассмотренный метод имеет ограниченное применение по ряду причин. К последним можно отнести, например, трудности, возникающие при переходе от коэффициентов b tj к к технологическим параметрам объекта. Метод не пригоден для нестационарных систем. Трудности реализации этой процедуры в режиме нормальной эксплуатации объекта также снижают эффективность метода. Наконец, необходимость усечения всех операций, связанных с предельными переходами, замена рядов конечными суммами являются источниками дополнительных вычислительных погрешностей.

4. Другой возможный подход к построению оптимальных фильтров нелинейных систем основан па использовании аппарата условных марковских процессов. Рассмотрим существо данного подхода на конкретном примере.

П р и м е р . Пусть полезный сигпал представляет собой прямоугольный импульс

момент появления которого t на отрезке 0 х Т требуется определить. Высота импульса А 0 и его длительность ч предполагаются известными. Сигнал, поступающий на объект, и (t)=s (*)+м> (*) есть сумма полезной составляющей s (0 и белого шума w (*), который описывается интегралом вероятности }