Наверное, у каждого из нас в детстве была игрушка юла. До чего же интересно было наблюдать за её вращением! И очень хотелось понять, почему неподвижная юла не может стоять вертикально, а когда её запускаешь, она начинает вращаться и не падает, сохраняя устойчивость на одной опоре.
Хотя юла – всего лишь игрушка, она привлекла пристальное внимание физиков. Юла представляет собой один из видов тела, которое в физике называется волчком. Как игрушка, чаще всего она имеет конструкцию, состоящую из двух полуконусов, соединённых вместе, по центру которых проходит ось. Но волчок может иметь и другую форму. Например, шестерёнка часового механизма тоже является волчком, как и гироскоп - насаженный на стержень массивный диск. Простейший волчок состоит из диска, в центр которого вставлена ось.
Ничто не может заставить волчок сохранять вертикальное положение, когда он неподвижен. Но стоит только раскрутить его, как он будет прочно стоять на остром конце. И чем быстрее скорость его вращения, тем устойчивее его положение.
Нажать на картинку
Согласно закону инерции, открытому Ньютоном, все тела, находящиеся в движении, стремятся сохранить направление движения и величину скорости. Соответственно, подчиняется этому закону и вращающийся волчок. Сила инерции препятствует падению волчка, пытаясь сохранить первоначальный характер движения. Конечно, сила тяжести пытается свалить волчок, но чем быстрее он вращается, тем труднее преодолеть силу инерции.
Толкнём волчок, вращающийся против часовой стрелки в направлении, показанном на рисунке. Под воздействием приложенной силы он наклонится влево. Точка А при этом двигается вниз, а точка В вверх. Обе точки согласно закону инерции окажут сопротивление толчку, пытаясь вернуться в исходное положение. В результате возникнет прецессионная сила, направленная перпендикулярно направлению толчка. Волчок отвернёт влево под углом 90 о по отношению к приложенной к нему силе. Если вращение происходило бы по часовой стрелке, он отвернул бы вправо под таким же углом.
Если бы волчок не вращался, то под действием силы тяжести он сразу же упал бы на поверхность, на которой он находится. Но, вращаясь, он не падает, а аналогично другим вращающимся телам получает момент количества движения (угловой момент). Величина этого момента зависит от массы волчка и скорости вращения. Возникает вращающая сила, которая заставляет ось волчка при вращении сохранять угол наклона относительно вертикали.
Со временем скорость вращения волчка снижается, и его движение начинает замедляться. Верхняя его точка постепенно отклоняется от первоначального положения в стороны. Её движение проходит по расходящейся спирали. Это и есть прецессия оси волчка.
Эффект прецессии можно также наблюдать, если, не дожидаясь замедления его вращения, просто толкнуть волчок, т. е. приложить к нему внешнюю силу. Момент приложенной силы изменяет направление момента импульса оси волчка.
Экспериментально подтверждено, что скорость изменения момента импульса вращающегося тела прямо пропорциональна величине приложенного к телу момента силы .
Нажать на картинку
Если попытаться толкнуть вращающийся волчок, он качнётся и снова примет вертикальное положение. Более того, если его подбросить, то его ось всё равно сохранит своё направление. Это свойство волчка используется в технике.
До того как человечество придумало гироскоп, оно применяло разные способы ориентации в пространстве. Это были отвес и уровень, в основу работы которых была положена гравитация. Позже изобрели компас, который использовал магнетизм Земли, и астролябию, принцип работы которой основан на расположении звёзд. Но в сложных условиях эти приборы не всегда могли работать.
Работа гироскопа, изобретённого в начале XIX века немецким астрономом и математиком Иоганном Боненбергером, не зависела от плохой погоды, тряски, качки или электромагнитных помех. Этот прибор представлял собой тяжёлый металлический диск, через центр которого проходила ось. Вся эта конструкция заключалась в кольцо. Но она имела один существенный недостаток – её работа быстро замедлялась из-за сил трения.
Во второй половине XIX века для разгона и поддержания работы гироскопа было предложено использовать электродвигатель.
В ХХ веке гироскоп заменил компас в самолётах, ракетах, подводных лодках.
В гирокомпасе вращающееся колесо (ротор) устанавливается в кардановом подвесе, представляющем собой универсальную шарнирную опору, в которой закреплённое тело может свободно вращаться одновременно в нескольких плоскостях. Причём направление оси вращения тела останется неизменным независимо от того, как меняется расположение самого подвеса. Такой подвес очень удобно использовать там, где есть качка. Ведь предмет, закреплённый в ней, будет сохранять вертикальное положение несмотря ни на что.
Ротор гироскопа сохраняет свое направление в пространстве. Но Земля вращается. И наблюдателю покажется, что за 24 часа ось ротора делает полный оборот. В гирокомпасе ротор с помощью груза удерживают в горизонтальном положении. Сила тяжести создаёт крутящий момент, и ось ротора всегда направлена строго на север.
Гироскоп стал важнейшим элементом навигационных систем самолетов и морских судов.
В авиации применяется прибор, который называется авиагоризонт. Это гироскопический прибор, с помощью которого определяют углы крена и тангажа.
На основе волчка созданы и гироскопические стабилизаторы. Быстро вращающийся диск препятствует изменению оси вращения, «гасит» качку на кораблях. Такие стабилизаторы используются также в вертолётах для стабилизации их равновесия по вертикали и горизонтали.
Не только волчок может сохранять устойчивое положение относительно оси вращения. Если тело имеет правильную геометрическую форму, при вращении оно также способно сохранять устойчивость.
У волчка есть «родственники». Это велосипед и винтовочная пуля. На первый взгляд они абсолютно разные. Что же их объединяет?
Каждое из колёс велосипеда можно рассматривать как волчок. Если колёса неподвижны, велосипед валится на бок. А если они катятся, то и он сохраняет равновесие.
А пуля, выпущенная из винтовки, также вертится в полёте, как и волчок. Она ведёт себя так, потому что в стволе винтовки сделаны винтовые нарезы. Проносясь по ним, пуля получает вращательное движение. И в воздухе она сохраняет то же положение, что и в стволе, острым концом вперёд. Точно так же вращаются и пушечные снаряды. В отличие от старых пушек, стрелявших ядрами, дальность полёта и точность попадания таких снарядов выше.
Симметричным волчком будем называть молекулу, в которой равны два главных момента инерции (I В = I С для вытянутого волчка или I A = I B для сплюснутого волчка). Третий момент инерции не равен нулю и не совпадает с двумя другими. Примером вытянутого симметричного волчка является молекула метилфторида FCH 3 , в которой три атома водорода тетраэдрически связаны с атомом углерода, а атом фтора находится на большем расстоянии по сравнению с водородом от атома углерода. Вращение такой молекулы вокруг оси С – F (ось симметрии молекулы) отличается от вращения вокруг двух других осей, перпендикулярных данной. Моменты инерции относительно двух других осей равны I B = I C . Момент инерции относительно направления связи С – F(I A ) хотя и мал, но им пренебрегать нельзя. Вклад во вращение вокруг этой оси (она совпадает с осью симметрии молекулы) вносят три атома водорода, расположенных вне этой оси.
Уровни энергии симметричного волчка можно найти через квадраты соответствующих моментов количества движения
Для симметричного вытянутого волчка I x = I y , а I z < I y . Ось Z совпадает с осью наименьшего момента инерции
Формулу (2.40) можно переписать следующим образом:
в формуле (2.40) мы добавили и вычли выражение ). В первый член выражения (2.41) входит квадрат полного момента p 2 , который квантуется и равен BJ (J + 1) (см. 2.2), а во второй член входит проекция квадрата момента на ось Z , являющуюся осью симметрии волчка. Проекция момента Р z квантуется и принимает значения Р z = ћk. Таким образом квантованное выражение дли энергии вращения будет иметь вид:
Введя вращательные постоянные, получим
(А>В ), (2.43)
(J= 0, 1, 2, ...; k = 0, ±1, ±2, ...).
Для случая сплюснутого волчка ось Z является осью наибольшего момента инерции I C и учитывая, что I A =I B , можно записать
, (C <B ) (2.44)
(J = 0, 1, 2, ...; k = 0, ±1, ±2, ...).
В этих формулах вращательная постоянная B соответствует моменту инерции относительно осей, перпендикулярных оси симметрии.
Какие же значения могут принимать величины k и J . По законам квантовой механики обе величины могут быть равны либо целому числу, либо нулю. Полный момент инерции молекулы (квантовое число J ) может быть довольно большим, т. е. J может принимать значения от 0, 1, 2 ,..., ¥. Однако бесконечно больших J трудно достичь, так как реальная молекула при большой скорости вращения может распасться на части. Если величина J выбрана, то на число k сразу накладываются ограничения: k не может превышать J так как J характеризует полный момент. Пусть J = 2, тогда для k могут реализоваться значения k = 2, 1, 0, –1, –2. Чем больше энергии приходится на вращение вокруг оси, перпендикулярной оси симметрии, тем меньше k . Так как энергия квадратично зависит от k , то k может принимать и отрицательные значения. Из наглядных представлений положительным и отрицательным значениям k можно поставить в соответствие вращение по и против часовой стрелки относительно оси симметрии.
Таким образом, при заданном значении J могут реализоваться следующие значения k :
k = J, J – 1, J – 2, ..., 0, ... ,– (j – 1) ,–J ,
т. е. всего 2J + 1 значений.
Первый член в формулах (2.43) и (2.44) совпадает с выражением энергии (2.16) для линейной молекулы (k в квадрате входит в формулы (2.43) и (2.44)).
Каждый уровень вращательной энергии с заданным значением J с кратностью вырождения 2J + 1 расщепляется на J + 1 составляющую по отношению к абсолютной величине |k |, которая принимает значения от 0 до J . Так как энергия зависит от k 2 , то для величины k указывают его абсолютное значение. Степень вырождения уровней с заданными значениями J и k равна 2(2J + 1), а уровней с заданным значением J и с k = 0 равна 2J + 1. Для уровней k = 0сохраняется только вырождение, связанное с независимостью энергии от квантового числа m J , принимающего 2J + 1 значений. Остальные уровни (k ¹ 0) являются дважды вырожденными по отношению к k .
Расстояние между уровнями с различными k (при заданном J ) зависит для вытянутого волчка от величины А – В , а для сплюснутого волчка от величины С – В , т. е. оно тем больше, чем сильнее отличаются соответствующие моменты инерции. Для вытянутого волчка уровни энергии расположены тем выше, чем больше (А – В > 0), а для сплюснутого волчка уровни расположены тем ниже, чем больше k (С – В < 0). На рис. 2.11 показано расположение уровней вращательной энергии и переходов между ними для вытянутого волчка с k от 0 до 3 (В = С = 1,0 см –1 , А = 1.5 см –1 , левая часть рисунка) и для сплюснутого волчка (В = А = 1,5 см –1 ,С = 1,0 см –1 правая часть рисунка). Между ними отмечены уровни энергии асимметричного волчка (А = 1.5см –1 , В = 1.25 см –1 , С = 1,0 см –1).
В рассмотренном примере вращательные постоянные не очень сильно отличаются друг от друга, поэтому при заданном J уровни с различным k близки друг к другу. При большом различии моментов инерции, что часто имеет место для реальных молекул, нормальный порядок уровней с различными J может нарушаться. Например, для вытянутого волчка уровень с J = 3, k = 0,будет лежать ниже уровня с J = 2, k = 2.
Чтобы получить спектр ИК-поглощения симметричного ротатора, необходимо знать правила отбора для квантовых чисел J и k. Расчеты показывают, что для дипольного поглощения и испускания имеет место DJ = ±1(правило отбора, аналогичное как и для двухатомной молекулы) и Dk = 0. Последнее соотношение для Dk =0говорит о том, что при переходах проекция момента количества движения на ось волчка не должна изменяться. Это справедливо как для спектров поглощения и испускания, так и для спектров КР. На рис.2.11 стрелками показаны переходы в поглощении и испускании.
Положение линий чисто вращательных спектров можно определить, если, пользуясь формулой (2.43) иди (2.44), взять разность энергий E вр между соседними уровнями
Для ИК-поглощения D J = 1, J"= J"" +1, J"= J"" , то
Таким образом, в поглощении и испускании получается серия равноотстоящих линий аналогично току, как это имелось для двухатомной молекулы.
Для КР возможные переходы определяется следующими правилами отбора
DJ = ± 1, ±2, (2.46)
что дает (при J" = J"" + 1, J" = J"" + 2, J" = J )следующие серии линий
при DJ = 2 (J = 1, 2, ...) и
при D J = 1 (J = 1, 2, 3, ...).
В последнем случае переход J"" = 0 ® J" = 1 запрещен дополнительными правилами отбора. Действительно, правила отбора Dk = 0, означает, что изменение момента количества движения для вращения вокруг оси симметрии (k – вращательное квантовое число для осевого вращения) не приводит к изменению поляризуемости, т. е. при этом вращении отсутствует спектр КР. Наличие для состояний с k = 0 лишь переходов с DJ = ±2 означает, что в переходах DJ = ±1 не может участвовать основное состояние (J = 0). Для всех ненулевых J число k может быть отличным от нуля и переходы DJ = ±1 являются разрешенными.
Таким образом, в спектре КР мы получаем две серии линий, одна из которых (2.48) совпадает с аналогичной серией для двухатомной молекулы (), и соответственно вторую серию ( линии которой расположены вдвое чаще, чем линии первой серии. Линии второй серии через одну совпадают с линиями первой серии, что приводит к чередованию интенсивностей. Это чередование не надо смешивать с чередованием интенсивностей, обусловленным ядерным спином.
Как видим, формулы (2.43 и 2.44) следует, что они содержат только одну вращательную постоянную В . Поэтому по расстоянию между вращательными линиями молекулы типа симметричного волчка можно определить момент инерции относительно осей, перпендикулярных оси симметрии волчка. Момент инерции относительно оси симметрии вытянутого (постоянная А ) или сплюснутого (постоянная С ) волчка определить нельзя. Примером молекул, имеющих характерные вращательные спектры поглощения и которые моделируются симметричными волчками, являются молекулы NH 3 , PH 3 и др.
Необходимо учесть, что полученные формулы (2.43 и 2.44) являются приближенными и не учитывают изменения в спектрах, которые происходят в результате центробежного растяжения. Для симметричного волчка центробежное растяжение зависит не только от квантового числа J , но и от числа k . При учете центробежного растяжения в формулах (2.43) и (2.44) добавляются члены четвертого порядка относительно J и k . В формулах (2.43) и (2.44) появляются члены, зависящие от [J (J + 1)] 2 , от k 4 и от J (J + 1) k 2 . С учетом этих членов для вращательной энергии симметричного вытянутого волчка получается формула
Постоянные D J , D k и D J,k слишком малы по сравнению с В , А и С . При ИК-поглощения (DJ = 1, Dk) для возможных переходов имеем формулу
Второй член в формуле вызывает только небольшое изменение расстояний между линиями, последний член, зависящий от k , вызывает расщепление линий J ® J + 1 на J + 1 составляющих, соответствующих значениям k от 0 до J . Для оценки величин постоянных D J и D J,k приведем их значения, полученные Горди для молекулы метилфторида FCH 3: В = 0,851 см –1 D J = 2,00×10 –6 см –1 , D J,k = 1,47 ×10 –5 см –1 .
Несмотря на то, что D J,k мало (10 –4 ¸ 10 –6 В), указанное расщепление удается наблюдать для вращательных линий благодаря высокой разрешающей способности применяемых современных спектрометров.
2.3.4. Уровни энергии и спектры молекул типа
асимметричного волчка
Для получения картины расположения уровней энергии асимметричного волчка необходимо рассматривать уровни энергии волчков, близких к двум простейшим крайним случаям – вытянутого и сплющенного симметричного волчка. Общее выражение энергии вращения имеет вид:
В случае асимметричного волчка все три постоянные (А , В и С ) различны. Если их расположить в порядке убывания, то A > B > C (для I A < I B < I C ). Вытянутый симметричный волчок соответствует случаю, когда В = С , а сплюснутый – когда А = В . Разные значения В в интервале между А и С соответствуют различной степени асимметрии волчка. Если В отличается от А и С на небольшую величину, то волчок может быть назван слегка асимметричным. Рис. 2.11 показывает изменение уровней энергии при изменении В от С до А . Уровни слева соответствуют вытянутому симметричному волчку (В = С ), а уровни справа – сплющенному (В = А ). Наличие небольшой асимметрии приводит к расщеплению уровней энергии с противоположными знаками k (k – и k + ). Эти уровни являются вырожденными у симметричных волчков. Двукратно вырожденным уровням вращательной энергии симметричных волчков соответствуют пары весьма близких уровней асимметричных волчков. Последние можно называть компонентами дублетных уровней. При этом вращательным уровням сплюснутого симметричного волчка соответствуют нижние дублеты асимметричного волчка, для которых t < 0 (t = k – – k + ), а уровням вытянутого симметричного волчка – верхнее дублеты асимметричного волчка, для которых t ³ 0 (t.= –J , –J + 1, ..., +J ). Таким образом, самый нижний уровень будет J –J , а самый верхний J +J . Для частного случая, когда А = 1,5 см –1 , В = 1,25 см –1 , С = 1,0 см –1 (c = 0) соответствующее расположение уровней показано на рис. 2.11 в центре. Как видим, с увеличением у характерным является близость двух нижних уровней и двух верхних уровней. Для J = 2 нижний уровень соответствует уровню с k = 0 для вытянутого волчка и уровню с k = 2 для сплюснутого волчка, т. е. обозначается как 2 02 . Индекс t, равный разности k –1 и k 1 , может применяться для обозначения уровней асимметричного волчка. Например, для уровней J = 2 будут употребляться символы 2 02 = 2 –2 , 2 12 = 2 –1 , 2 11 = 2 0 , 2 21 = 2 +1 и 2 20 = 2 +2 .
В табл. 2.3 приведены вращательные уровни молекулы воды (H 2 O –A = 27,79 см –1 , В =14.51 см –1 . С = 9,29 см –1), как первый случай интерпретации вращательной структуры типа асимметричного волчка.
Таблица 2.3
Значения энергии вращательных уровней молекулы Н 2 О, см –1
1. Энергетический слой
Новый энергетический слой зет Ахиллеса стал больше в диаметре, чем у предыдущей версии. По краям расположены металлические лезвия в форме косы. Они значительно добавляют веса, а периферическое расположение увеличивает центробежную силу вращения бея.
Слева и справа расположены уже знакомые всем небольшие синие крылышки, которые раскрываются во время боя, как у Волтраека В5 и служат блокиратором разбития. Но стоит учитывать, что этот блок лишь увеличивает сопротивление к разбитию, а не полностью его исключает.
Сверху и снизу симметрично расположены еще пара синих крыльев. С одной стороны, они незначительно увеличивают выносливость во время вращения. С другой стороны, они сглаживают контур, чтобы атакующим противникам было сложнее зацепиться и «снести крышу» Супер Зет Ахиллесу А5. К тому же любые выдвижные элементы амортизируют удары, что уменьшает отскок во время столкновений. Благодаря этому, бейблейд сложнее будет выбить с арены;
2. Силовой диск
Новый диск стал действительно новым. Его обозначили номером 00 (двойной ноль). Прежде нулевой диск был самым тяжелым из всех, но теперь у него появился конкурент по весу. Уже если удивлять новым бейблейдом, то удивлять во всем, решили в Takara Tomy;
3. Драйвер (наконечник)
Обновленный драйвер получил название Dimension (Dm). По сути — это видоизмененный драйвер Xtend прошлой версии Ахиллеса. Он так же имеет два базовых режима (атакующий и защитный) и так же меняет свою высоту. Однако изменился он внешне и механизм переключения режимов стал другой. Внутри находится черный стержень, на котором происходит вращение. В старой системе сверху было кольцо, которое надо было оттянуть и повернуть, установив нужный режим. Сейчас же появился третий элемент. Само кольцо стало зубчатым для удобства вращения и при повороте из него выходит небольшая втулка, в которой и прячется стержень;
4. В комплект входит также пусковой механизм влево-вправо.
Занимательные волчки. Опыты, конкурсы, изготовлениеВолчок — детская игрушка, которая при вращении вокруг своей оси держит вертикальное положение, а при замедлении вращения падает. Кроме того при вращении раскрашенного волчка можно наблюдать оптические эффекты смешения и, даже разложения, цветов на составляющие.
Материалы:
Картон, краски, зубочистки или даже лучше шпажки, клей (ПВА) или пластилин.
Волчки не обязательно делать из картона, можно использовать плотную бумагу или тонкий пластик. Можно попробовать сделать большой волчок из CD диска, или волчок осью которого является карандаш или фломастер - тогда можно будет увидеть интересные следы вращения.
Процесс изготовления:
На картоне или плотной бумаге нарисуем несколько кругов при помощи циркуля, диаметром примерно 5 см. Раскрашиваем по схемам и вырезаем. Если ребенок еще не пользуется циркулем можно в качестве шаблона использовать круглую рюмку или кофейную чашку, главное потом найти центр. Можно сделать один круг шаблонным - найти там центр при помощи сворачивания пополам и еще раз пополам, проткнуть серединку, а потом прикладывая к раскрашенным кругам переносить центр на них.
В центре круга проделывают маленькое отверстие шилом (зубочистки ломаются), в которое вставляют зубочистку или обрезанную деревянную шпажку (обязательно с острым концом). Закрепляем палочку при помощи клея ПВА (долго сохнет) или кусочка пластилина (здесь будет быстрее).
Получился волчок.
|
|
Это волчки которые мы сделали из плотной бумаги, нарисовав узор акварельными красками и вставив зубочистки и шпажки.
Самые простые схемы волчков - это по секторам. Круг делится на четное число секторов и раскрашиваются, например, в желтый и в синий цвета или в желтый и красный. При вращении мы увидим соответственно зеленый и оранжевый.
На этом опыте можно увидеть как смешиваются цвета.
Здесь можно поэкспериментировать с количеством секторов цветов.
Если разделить волчок на семь частей и покрасить их (очень бледно акварелью) в соответствии с расположением цветов в спектре, то при вращении волчок должен стать белым. Мы будем наблюдать процесс «собирания» цветов, так как белый цвет - это смесь всех цветов.
Этого эффекта добиться трудно, у нас с дочкой так не получилось, видимо покрасили волчок (на фото) мы очень ярко. Может белый цвет у нас и не получился, но получился красивый радужный эффект, да еще с какой-то трехмерностью.
Самые интересные узоры получаются из спиральных рисунков. Особенно завораживающе они смотрятся при замедлении вращения игрушки.
Объяснение увиденного:
Эта оптическая иллюзия происходит из-за того, что мозг ошибочно воспроизводит области смены черного и белого цветов как цветные (первый опыт). Как мы уже выше говорили - белый цвет является смесью всех цветов. Черный цвет - это отсутствие цвета. Когда глаз видит смазанную комбинацию черного и белого, он воспринимает ее как цветную. Цвет зависит от пропорции белого и черного и от скорости вращения.
Объяснение из книги: Стивена У. Мойе “Занимательные опыты с бумагой”
Интересно: Свойство волчка принимать вертикальное состояние при вращении широко пользуется в современной технике. Существуют различные гироскопические (основанные на вращательном свойстве волчка) приборы - компасы, стабилизаторы и другие полезные приборы, которые устанавливаются на кораблях и самолетах. Таково полезное использование простой, казалось бы, игрушки.
Активные игры для детей
Игры с волчками не только способствуют развитию мелкой моторики ребенка, но также могут развеселит и занять детскую компанию на празднике. Играем и соревнуемся с детьми.
Конкурсы на детских праздниках:
